Номер 25, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

25. Нарисуйте какую-нибудь точку $O$ и какой-нибудь отрезок $AB$. Изобразите точки $A'$ и $B'$ так, чтобы точка $O$ была серединой отрезков $AA'$ и $BB'$. Что можно сказать об отрезке $A'B'$?

Нарисуйте какую-нибудь точку O и какой-нибудь отрезок AB. Изобразите точки A' и B' так, чтобы точка O была серединой отрезков AA' и BB'.

Для выполнения этого задания сначала нарисуем на плоскости произвольную точку $O$ и произвольный отрезок $AB$. Для общности рассуждений выберем точку $O$ так, чтобы она не лежала на прямой, содержащей отрезок $AB$.

Далее построим точки $A'$ и $B'$. Чтобы точка $O$ была серединой отрезка $AA'$, точка $A'$ должна быть симметрична точке $A$ относительно точки $O$. Для ее построения проведем луч $AO$ и отложим на нем за точкой $O$ отрезок $OA'$, равный отрезку $AO$. По построению, $AO = OA'$ и точки $A, O, A'$ лежат на одной прямой, что и означает, что $O$ — середина отрезка $AA'$.

Аналогично построим точку $B'$. Чтобы точка $O$ была серединой отрезка $BB'$, точка $B'$ должна быть симметрична точке $B$ относительно $O$. Проведем луч $BO$ и отложим на нем за точкой $O$ отрезок $OB'$, равный отрезку $BO$. По построению, $BO = OB'$ и точки $B, O, B'$ лежат на одной прямой, что означает, что $O$ — середина отрезка $BB'$.

Соединив точки $A'$ и $B'$, мы получим отрезок $A'B'$. Такое преобразование, которое переводит отрезок $AB$ в отрезок $A'B'$, называется центральной симметрией с центром в точке $O$.

Что можно сказать об отрезке A'B'?

Чтобы охарактеризовать отрезок $A'B'$ по отношению к исходному отрезку $AB$, рассмотрим треугольники, образованные этими отрезками и точкой $O$: $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$.

Сравним эти два треугольника:

1. Сторона $AO$ равна стороне $A'O$ ($AO = A'O$) по нашему построению.

2. Сторона $BO$ равна стороне $B'O$ ($BO = B'O$) также по построению.

3. Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle A'OB'$ ($\angle AOB = \angle A'OB'$), так как они являются вертикальными углами при пересечении прямых $AA'$ и $BB'$.

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle A'OB'$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

• Соответствующие стороны $AB$ и $A'B'$ равны, то есть их длины одинаковы: $AB = A'B'$.

• Соответствующие углы равны, в частности, $\angle OAB = \angle OA'B'$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $A'B'$ и секущей $AA'$. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые, содержащие отрезки $AB$ и $A'B'$, параллельны: $AB \parallel A'B'$.

Следовательно, мы можем заключить, что отрезок $A'B'$ равен по длине отрезку $AB$ и параллелен ему.

Ответ: Отрезок $A'B'$ равен по длине отрезку $AB$ и параллелен ему.