Номер 2, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Какая прямая при центральной симметрии переходит в себя?

Центральная симметрия относительно точки $O$ (называемой центром симметрии) — это такое преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ так, что $O$ является серединой отрезка $MM'$. Чтобы прямая переходила в себя, необходимо, чтобы образ любой точки этой прямой также принадлежал этой прямой.

Рассмотрим прямую $a$ и центр симметрии $O$. Существует два возможных случая их взаимного расположения.

Случай 1: Центр симметрии $O$ лежит на прямой $a$.

Возьмем любую точку $M$ на прямой $a$. По определению центральной симметрии, ее образ, точка $M'$, лежит на прямой, проходящей через точки $M$ и $O$. Поскольку обе эти точки ($M$ и $O$) уже лежат на прямой $a$, то и точка $M'$ также обязана лежать на прямой $a$. Так как это верно для любой точки прямой $a$, то вся прямая $a$ при такой симметрии переходит в себя.

Случай 2: Центр симметрии $O$ не лежит на прямой $a$.

В этом случае прямая $a$ отобразится на другую прямую, $a'$, которая будет ей параллельна. Чтобы это показать, выберем на прямой $a$ две произвольные точки $A$ и $B$. Их образами будут точки $A'$ и $B'$, а образом прямой $a$ будет прямая $a'$, проходящая через $A'$ и $B'$. По определению симметрии, $O$ — середина отрезков $AA'$ и $BB'$. Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OA'B'$. В них $OA = OA'$ и $OB = OB'$, а углы $\angle AOB$ и $\angle A'OB'$ равны как вертикальные. Следовательно, $\triangle OAB \cong \triangle OA'B'$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство накрест лежащих углов ($\angle OAB = \angle OA'B'$ при секущей $AA'$), что доказывает параллельность прямых $a$ и $a'$. Так как точка $O$ не принадлежит прямой $a$, то прямые $a$ и $a'$ не совпадают.

Из этого следует, что единственным случаем, когда прямая переходит в себя при центральной симметрии, является тот, когда она проходит через центр симметрии.

Ответ: При центральной симметрии в себя переходит любая прямая, которая проходит через центр симметрии.