Страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Изобразите оси симметрии для четырехугольников (рис. 9.12).

а)

б)

в)

Рис. 9.12

а)На рисунке изображен прямоугольник ABCD. Прямоугольник имеет две оси симметрии. Одна ось симметрии — это прямая, проходящая через середины противоположных сторон AB и DC (вертикальная ось). Вторая ось симметрии — это прямая, проходящая через середины двух других противоположных сторон, AD и BC (горизонтальная ось). Эти оси являются серединными перпендикулярами к сторонам прямоугольника.
Ответ: прямоугольник имеет две оси симметрии — прямые, проходящие через середины его противолежащих сторон.

б)Четырехугольник, изображенный на рисунке, является четырехугольником общего вида. У него нет равных или параллельных сторон. Фигура, обладающая осевой симметрией, должна совпадать со своим отражением относительно оси. Для данного четырехугольника невозможно провести такую прямую (ось), чтобы при отражении относительно нее фигура перешла сама в себя.
Ответ: данный четырехугольник не имеет осей симметрии.

в)Четырехугольник, изображенный на рисунке, является ромбом, так как все его четыре стороны равны. Длину каждой стороны можно вычислить по теореме Пифагора, используя клетки сетки. Например, длина стороны AB равна $ \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} $, и длина стороны BC равна $ \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} $. Аналогично для сторон CD и DA. Ромб имеет две оси симметрии, которыми являются его диагонали — прямые, соединяющие противолежащие вершины (AC и BD).
Ответ: данный четырехугольник (ромб) имеет две оси симметрии — его диагонали.

17. Изобразите оси симметрии для многоугольников, изображенных на рисунке 9.13.

а)

б)

Рис. 9.13

a) Ось симметрии фигуры — это прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Рассматриваемый шестиугольник не является правильным, так как его стороны имеют разную длину. Например, длина горизонтальных сторон равна 2 условным единицам (клеткам), а длина наклонных сторон, согласно теореме Пифагора, равна $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ условных единиц.
Данный шестиугольник имеет две оси симметрии:
1. Вертикальная ось симметрии, которая является серединным перпендикуляром к его верхней и нижней горизонтальным сторонам.
2. Горизонтальная ось симметрии, которая соединяет его левую и правую вершины.



Ответ: у данного многоугольника 2 оси симметрии.

б) Данный восьмиугольник также не является правильным, поскольку его стороны не равны между собой. Длина его горизонтальных и вертикальных сторон равна 2 условным единицам, в то время как длина наклонных сторон равна $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ условных единиц.
Этот восьмиугольник имеет четыре оси симметрии:
1. Вертикальная ось симметрии, проходящая через середины верхней и нижней горизонтальных сторон.
2. Горизонтальная ось симметрии, проходящая через середины левой и правой вертикальных сторон.
3. Две диагональные оси симметрии, проходящие через центр фигуры под углом $45^\circ$ к горизонтальной и вертикальной осям.



Ответ: у данного многоугольника 4 оси симметрии.

18. Точка $A$ на координатной плоскости имеет координаты $(3; -4)$.

Найдите координаты точки, симметричной точке $A$ относительно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат.

а) оси абсцисс

Дана точка $А$ с координатами $(3; -4)$. Ось абсцисс – это ось $Ox$. При симметричном отображении точки относительно оси абсцисс ее первая координата (абсцисса) остается неизменной, а вторая координата (ордината) меняет свой знак на противоположный.

Если исходная точка имеет координаты $(x; y)$, то симметричная ей точка относительно оси абсцисс будет иметь координаты $(x; -y)$.

Для точки $А(3; -4)$ абсцисса $x = 3$, а ордината $y = -4$.

Координаты симметричной точки $А'$ будут:

$x' = 3$

$y' = -(-4) = 4$

Таким образом, координаты искомой точки равны $(3; 4)$.

Ответ: $(3; 4)$

б) оси ординат

Дана точка $А$ с координатами $(3; -4)$. Ось ординат – это ось $Oy$. При симметричном отображении точки относительно оси ординат ее вторая координата (ордината) остается неизменной, а первая координата (абсцисса) меняет свой знак на противоположный.

Если исходная точка имеет координаты $(x; y)$, то симметричная ей точка относительно оси ординат будет иметь координаты $(-x; y)$.

Для точки $А(3; -4)$ абсцисса $x = 3$, а ордината $y = -4$.

Координаты симметричной точки $А''$ будут:

$x'' = -3$

$y'' = -4$

Таким образом, координаты искомой точки равны $(-3; -4)$.

Ответ: $(-3; -4)$