Страница 49 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно рассмотрите случай, когда точки $A$, $B$ лежат по разные стороны от $c$.

Проведите их самостоятельно.

Самостоятельно рассмотрите случай, когда точки A, B лежат по разные стороны от c.

Пусть даны прямая $c$ и две точки $A$ и $B$, расположенные в разных полуплоскостях относительно этой прямой. Нам необходимо найти на прямой $c$ такую точку $M$, для которой сумма расстояний $AM + MB$ будет наименьшей.

Поскольку точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от прямой $c$, отрезок, соединяющий эти точки, будет пересекать прямую $c$. Обозначим точку пересечения отрезка $AB$ и прямой $c$ как $M$. В этом случае точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой, причем точка $M$ находится между точками $A$ и $B$. Следовательно, по свойству длины отрезка, сумма длин $AM + MB$ равна длине всего отрезка $AB$:

$AM + MB = AB$

Теперь выберем на прямой $c$ любую другую точку $M'$, не совпадающую с точкой $M$. Точки $A$, $B$ и $M'$ образуют треугольник $\triangle AM'B$, так как они не лежат на одной прямой (ведь отрезок $AB$ пересекает прямую $c$ только в одной точке $M$).

Для треугольника $\triangle AM'B$ справедливо неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

$AM' + M'B > AB$

Так как мы установили, что $AB = AM + MB$, мы можем подставить это в неравенство:

$AM' + M'B > AM + MB$

Это неравенство показывает, что для любой точки $M'$ на прямой $c$, отличной от $M$, сумма расстояний от $A$ и $B$ до этой точки будет больше, чем сумма расстояний до точки $M$. Таким образом, точка $M$, являющаяся точкой пересечения отрезка $AB$ и прямой $c$, и есть та самая точка, которая минимизирует сумму $AM + MB$.

Ответ: Искомой точкой $M$ на прямой $c$, для которой сумма $AM + MB$ минимальна, является точка пересечения отрезка $AB$ с прямой $c$. Минимальное значение этой суммы равно длине отрезка $AB$.

Проведите их самостоятельно.

Построение для нахождения точки $M$ на прямой $c$ (когда точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от нее) выполняется следующим образом:

1. На плоскости чертим прямую $c$.

2. Отмечаем точку $A$ в одной полуплоскости относительно прямой $c$ и точку $B$ — в другой.

3. С помощью линейки проводим отрезок, соединяющий точки $A$ и $B$.

4. Точка, в которой отрезок $AB$ пересекает прямую $c$, и является искомой точкой $M$.

Наглядная иллюстрация доказывает, что любой другой путь из точки $A$ в точку $B$ через иную точку $M'$ на прямой $c$ (показан пунктиром) будет длиннее, чем прямой путь через точку $M$, так как он представляет собой ломаную линию, а кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая.

Ответ: Для нахождения точки $M$ следует соединить точки $A$ и $B$ отрезком. Точка пересечения этого отрезка с прямой $c$ и будет искомой точкой.