Страница 44 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно рассмотрите случай, когда вектор $ \vec{AB} $ коллинеарен вектору $ \vec{a} $.

Пусть имеется параллельный перенос на вектор $\vec{a}$. При таком переносе любая точка $M$ переходит в точку $M'$, для которой выполняется равенство $\vec{MM'} = \vec{a}$.

Рассмотрим, как при этом переносе преобразуется вектор $\vec{AB}$. Пусть точка $A$ переходит в точку $A'$, а точка $B$ — в точку $B'$. Тогда по определению параллельного переноса имеем: $\vec{AA'} = \vec{a}$ и $\vec{BB'} = \vec{a}$.

В общем случае, независимо от взаимного расположения векторов, вектор $\vec{A'B'}$ равен вектору $\vec{AB}$. Это можно доказать, используя правило многоугольника для сложения векторов: $\vec{A'B'} = \vec{A'A} + \vec{AB} + \vec{BB'}$. Поскольку $\vec{A'A} = -\vec{AA'} = -\vec{a}$, подставив известные векторы в равенство, получим: $\vec{A'B'} = -\vec{a} + \vec{AB} + \vec{a}$, откуда следует, что $\vec{A'B'} = \vec{AB}$.

Это означает, что при параллельном переносе отрезок $AB$ переходит в равный ему и параллельный отрезок $A'B'$. Если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{a}$ не коллинеарны, то точки $A$, $B$, $B'$, $A'$ являются вершинами параллелограмма.

Рассмотрим случай, когда вектор $\vec{AB}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$. Коллинеарность означает, что векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это условие можно записать в виде формулы: $\vec{AB} = k \cdot \vec{a}$, где $k$ — некоторое действительное число (коэффициент пропорциональности).

Из условия $\vec{AB} = k \cdot \vec{a}$ следует, что прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, параллельна вектору $\vec{a}$. Обозначим эту прямую буквой $l$.

Рассмотрим положение точки $A'$ — образа точки $A$. По определению переноса, $\vec{AA'} = \vec{a}$. Так как точка $A$ лежит на прямой $l$, а вектор $\vec{AA'}$ параллелен этой прямой (поскольку он равен $\vec{a}$), то и точка $A'$ также должна лежать на прямой $l$.

Аналогично рассмотрим положение точки $B'$ — образа точки $B$. По определению, $\vec{BB'} = \vec{a}$. Так как точка $B$ лежит на прямой $l$, а вектор $\vec{BB'}$ параллелен этой прямой, то и точка $B'$ будет лежать на прямой $l$.

Таким образом, если вектор $\vec{AB}$ коллинеарен вектору переноса $\vec{a}$, то все четыре точки — $A$, $B$, $A'$, $B'$ — лежат на одной прямой. В этом случае четырехугольник $ABB'A'$ вырождается в фигуру, все вершины которой принадлежат одной прямой. Отрезок $A'B'$ является образом отрезка $AB$ и получается его "сдвигом" вдоль этой прямой на вектор $\vec{a}$.

Ответ: Если вектор $\vec{AB}$ коллинеарен вектору переноса $\vec{a}$, то при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ отрезок $AB$ переходит в равный ему отрезок $A'B'$, причём все четыре точки $A$, $B$, $A'$ и $B'$ лежат на одной прямой.