Страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой вектор называется вектором нормали прямой?

2. Каким уравнением задается прямая, проходящая через данную точку с данным вектором нормали?

3. Каким уравнением задается прямая, проходящая через две данные точки?

4. В каком случае два уравнения определяют: а) параллельные прямые; б) одну и ту же прямую; в) пересекающиеся прямые?

5. Как вычисляется угол между пересекающимися прямыми?

6. В каком случае две прямые перпендикулярны?

7. Какие уравнения называются параметрическими?

8. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

9. Какими параметрическими уравнениями задается прямая, проходящая через данную точку с данным направляющим вектором?

10. В каком случае параметрические уравнения определяют: а) параллельные прямые; б) одну и ту же прямую; в) пересекающиеся прямые?

11. Какой формулой выражается расстояние от точки до прямой?

1. Какой вектор называется вектором нормали прямой?

Вектором нормали (или нормальным вектором) прямой на плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный (ортогональный) этой прямой. Если прямая задана общим уравнением $Ax+By+C=0$, то вектор $\vec{n}=(A, B)$ является ее вектором нормали.

Ответ: Ненулевой вектор, перпендикулярный данной прямой.

2. Каким уравнением задается прямая, проходящая через данную точку с данным вектором нормали?

Пусть прямая проходит через точку $M_0(x_0, y_0)$ и имеет вектор нормали $\vec{n}=(A, B)$. Для любой точки $M(x, y)$, лежащей на этой прямой, вектор $\vec{M_0M}=(x-x_0, y-y_0)$ будет перпендикулярен вектору нормали $\vec{n}$. Условие перпендикулярности двух векторов — равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0$.

Распишем это произведение в координатах:

$A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$.

Это и есть искомое уравнение прямой.

Ответ: $A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$.

3. Каким уравнением задается прямая, проходящая через две данные точки?

Пусть даны две различные точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, через которые проходит прямая. Возьмем на прямой произвольную точку $M(x, y)$. Векторы $\vec{M_1M}=(x-x_1, y-y_1)$ и $\vec{M_1M_2}=(x_2-x_1, y_2-y_1)$ лежат на одной прямой, то есть они коллинеарны. Условие коллинеарности двух векторов — пропорциональность их соответствующих координат. Отсюда получаем каноническое уравнение прямой:

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

Это уравнение справедливо, если $x_1 \ne x_2$ и $y_1 \ne y_2$. Если $x_1=x_2$, то прямая вертикальна и ее уравнение $x=x_1$. Если $y_1=y_2$, то прямая горизонтальна и ее уравнение $y=y_1$.

Ответ: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

4. В каком случае два уравнения определяют: а) параллельные прямые; б) одну и ту же прямую; в) пересекающиеся прямые?

Рассмотрим две прямые, заданные общими уравнениями: $l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$. Их векторы нормали равны $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$. Взаимное расположение прямых зависит от взаимного расположения их векторов нормали.

а) параллельные прямые

Прямые параллельны, если их векторы нормали коллинеарны, но сами прямые не совпадают. Коллинеарность векторов означает пропорциональность их координат. Таким образом, коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, а свободный член этой пропорции не удовлетворяет.

Ответ: Коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \ne \frac{C_1}{C_2}$.

б) одну и ту же прямую

Прямые совпадают, если их векторы нормали коллинеарны и они имеют хотя бы одну общую точку. Это равносильно тому, что все коэффициенты одного уравнения пропорциональны всем коэффициентам другого.

Ответ: Все коэффициенты уравнений пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

в) пересекающиеся прямые

Прямые пересекаются, если их векторы нормали не коллинеарны. Это означает, что их координаты не пропорциональны.

Ответ: Коэффициенты при координатах не пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} \ne \frac{B_1}{B_2}$.

5. Как вычисляется угол между пересекающимися прямыми?

Угол $\theta$ между двумя пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. Его можно найти как угол между их векторами нормали $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$. Косинус угла между векторами вычисляется через их скалярное произведение и модули. Чтобы гарантированно получить острый угол, используется модуль скалярного произведения.

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$.

Ответ: По формуле $\cos \theta = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$, где $(A_1, B_1)$ и $(A_2, B_2)$ — векторы нормали прямых.

6. В каком случае две прямые перпендикулярны?

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их векторы нормали $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ перпендикулярны (ортогональны). Условием ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

В координатной форме это условие записывается как $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$, то условие перпендикулярности имеет вид $k_1k_2 = -1$.

Ответ: Если скалярное произведение их векторов нормали равно нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

7. Какие уравнения называются параметрическими?

Параметрическими уравнениями прямой (или кривой) называются уравнения, в которых координаты точек этой прямой $(x, y)$ выражены как функции некоторой переменной, называемой параметром (обычно обозначается $t$). Каждому значению параметра $t$ из определенного множества (для прямой — из всех действительных чисел) соответствует единственная точка на прямой.

Ответ: Уравнения вида $\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}$, выражающие координаты точек линии через параметр $t$.

8. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный (коллинеарный) этой прямой. Если прямая задана каноническим уравнением $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b}$, то вектор $\vec{s}=(a, b)$ является ее направляющим вектором.

Ответ: Ненулевой вектор, параллельный данной прямой.

9. Какими параметрическими уравнениями задается прямая, проходящая через данную точку с данным направляющим вектором?

Пусть прямая проходит через точку $M_0(x_0, y_0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s}=(a, b)$. Для любой точки $M(x, y)$ на этой прямой вектор $\vec{M_0M}=(x-x_0, y-y_0)$ коллинеарен вектору $\vec{s}$. Это означает, что существует такое число $t$ (параметр), что $\vec{M_0M} = t\vec{s}$.

Записав это векторное равенство в координатах, $(x-x_0, y-y_0) = t(a, b) = (at, bt)$, получаем систему параметрических уравнений прямой:

$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$, где $t \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$.

10. В каком случае параметрические уравнения определяют: а) параллельные прямые; б) одну и ту же прямую; в) пересекающиеся прямые?

Рассмотрим две прямые, заданные параметрическими уравнениями: $l_1: \begin{cases} x = x_1 + a_1t \\ y = y_1 + b_1t \end{cases}$ и $l_2: \begin{cases} x = x_2 + a_2u \\ y = y_2 + b_2u \end{cases}$. Их направляющие векторы — $\vec{s_1}=(a_1, b_1)$ и $\vec{s_2}=(a_2, b_2)$, а $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$ — точки на этих прямых.

а) параллельные прямые

Прямые параллельны, если их направляющие векторы $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ коллинеарны, но прямые не совпадают. Коллинеарность векторов означает пропорциональность их координат. Несовпадение означает, что точка одной прямой (например, $M_1$) не лежит на другой, т.е. вектор $\vec{M_1M_2}=(x_2-x_1, y_2-y_1)$ не коллинеарен направляющим векторам.

Ответ: Направляющие векторы $\vec{s_1}=(a_1, b_1)$ и $\vec{s_2}=(a_2, b_2)$ коллинеарны, а вектор $\vec{M_1M_2}=(x_2-x_1, y_2-y_1)$ им не коллинеарен.

б) одну и ту же прямую

Прямые совпадают, если их направляющие векторы коллинеарны и они имеют общую точку. Это равносильно тому, что векторы $\vec{s_1}$, $\vec{s_2}$ и $\vec{M_1M_2}$ все коллинеарны.

Ответ: Направляющие векторы $\vec{s_1}=(a_1, b_1)$, $\vec{s_2}=(a_2, b_2)$ и вектор $\vec{M_1M_2}=(x_2-x_1, y_2-y_1)$ коллинеарны.

в) пересекающиеся прямые

Прямые на плоскости пересекаются, если их направляющие векторы не коллинеарны. Это означает, что их координаты не пропорциональны.

Ответ: Направляющие векторы $\vec{s_1}=(a_1, b_1)$ и $\vec{s_2}=(a_2, b_2)$ не коллинеарны.

11. Какой формулой выражается расстояние от точки до прямой?

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0, y_0)$ до прямой, заданной общим уравнением $Ax+By+C=0$, вычисляется как длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Эта величина находится по формуле, которая использует координаты точки и коэффициенты уравнения прямой.

Формула расстояния:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

В числителе стоит модуль значения левой части уравнения прямой, в которое подставлены координаты точки, а в знаменателе — модуль (длина) вектора нормали $\vec{n}=(A, B)$.

Ответ: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

1. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A_0(2; 1)$ и вектором нормали:

а) $\vec{n}(1; 1)$;

б) $\vec{n}(-1; 2)$.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через заданную точку $A_0(x_0; y_0)$ с известным вектором нормали $\vec{n}(A; B)$, используется следующая формула:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

В нашей задаче дана точка $A_0(2; 1)$, поэтому $x_0 = 2$ и $y_0 = 1$.

а)

Дан вектор нормали $\vec{n}(1; 1)$. Это означает, что коэффициенты в уравнении прямой $A=1$ и $B=1$.

Подставим известные значения в формулу:

$1 \cdot (x - 2) + 1 \cdot (y - 1) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x - 2 + y - 1 = 0$

$x + y - 3 = 0$

Ответ: $x + y - 3 = 0$.

б)

Дан вектор нормали $\vec{n}(-1; 2)$. Это означает, что коэффициенты в уравнении прямой $A=-1$ и $B=2$.

Подставим известные значения в формулу:

$-1 \cdot (x - 2) + 2 \cdot (y - 1) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$-x + 2 + 2y - 2 = 0$

$-x + 2y = 0$

Для удобства можно умножить все уравнение на -1:

$x - 2y = 0$

Ответ: $x - 2y = 0$.

2. Прямая задана уравнением $2x - 3y + 1 = 0$. Чему равны координаты вектора нормали? Нарисуйте эту прямую и вектор нормали.

Чему равны координаты вектора нормали?

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид $Ax + By + C = 0$. Вектор с координатами $\vec{n} = (A, B)$ является вектором нормали (перпендикулярным вектором) к этой прямой.

В нашем случае прямая задана уравнением $2x - 3y + 1 = 0$.

Сравнивая это уравнение с общим видом, мы можем определить коэффициенты:

$A = 2$

$B = -3$

Следовательно, координаты вектора нормали равны $(2, -3)$.

Ответ: Координаты вектора нормали $\vec{n} = (2, -3)$.

Нарисуйте эту прямую и вектор нормали.

1. Построение прямой $2x - 3y + 1 = 0$

Для построения прямой достаточно найти две точки, принадлежащие ей. Выразим $y$ через $x$:

$3y = 2x + 1$

$y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$

Теперь найдем координаты двух точек:

• Если $x = 1$, то $y = \frac{2}{3}(1) + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Получаем точку $M_1(1, 1)$.
• Если $x = -2$, то $y = \frac{2}{3}(-2) + \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{3}{3} = -1$. Получаем точку $M_2(-2, -1)$.

Соединив эти две точки, мы получим график прямой.

2. Построение вектора нормали $\vec{n} = (2, -3)$

Вектор нормали перпендикулярен прямой. Его можно отложить от любой точки на этой прямой. Отложим его от точки $M_1(1, 1)$. Конец вектора будет в точке с координатами $(1+2, 1-3) = (3, -2)$.

Ниже представлен график с изображением прямой и вектора нормали.

Ответ: На рисунке синим цветом изображена прямая $2x - 3y + 1 = 0$, проходящая через точки $M_1(1,1)$ и $M_2(-2,-1)$. Красным цветом изображен вектор нормали $\vec{n} = (2, -3)$, отложенный от точки $M_1$.

3. Найдите координаты точки пересечения прямой, заданной уравнением $ax + by + c = 0$, с осями координат $(a \ne 0; b \ne 0)$.

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой, заданной уравнением $ax + by + c = 0$, с осями координат, нужно рассмотреть два случая: пересечение с осью абсцисс (Ox) и пересечение с осью ординат (Oy). Условие $a \neq 0$ и $b \neq 0$ означает, что прямая не параллельна ни одной из осей координат и пересекает обе.

Пересечение с осью абсцисс (Ox)

Точка пересечения с осью абсцисс имеет координату $y$, равную нулю. Подставим $y = 0$ в исходное уравнение прямой:

$ax + b \cdot 0 + c = 0$

$ax + c = 0$

Теперь выразим координату $x$. Поскольку по условию $a \neq 0$, мы можем перенести $c$ в правую часть и разделить на $a$:

$ax = -c$

$x = -\frac{c}{a}$

Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-\frac{c}{a}, 0)$.

Ответ: координаты точки пересечения с осью Ox: $(-\frac{c}{a}, 0)$.

Пересечение с осью ординат (Oy)

Точка пересечения с осью ординат имеет координату $x$, равную нулю. Подставим $x = 0$ в исходное уравнение прямой:

$a \cdot 0 + by + c = 0$

$by + c = 0$

Теперь выразим координату $y$. Поскольку по условию $b \neq 0$, мы можем перенести $c$ в правую часть и разделить на $b$:

$by = -c$

$y = -\frac{c}{b}$

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -\frac{c}{b})$.

Ответ: координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, -\frac{c}{b})$.

4. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки $A(0; 1)$, $B(1; 0)$.

4. Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$), можно использовать каноническое уравнение прямой:
$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $
Подставим координаты наших точек A(0; 1) и B(1; 0):
$x_1 = 0$, $y_1 = 1$
$x_2 = 1$, $y_2 = 0$

$ \frac{x - 0}{1 - 0} = \frac{y - 1}{0 - 1} $

Упростим полученное выражение:
$ \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{-1} $
$ x = -(y - 1) $
$ x = -y + 1 $

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение прямой в виде $y = kx + b$:
$ y = -x + 1 $
Это и есть искомое уравнение прямой. Также его можно записать в общем виде $Ax + By + C = 0$:
$ x + y - 1 = 0 $

Проверка:
Подставим координаты точки A(0; 1) в уравнение $y = -x + 1$:
$1 = -0 + 1$, что является верным равенством ($1=1$).
Подставим координаты точки B(1; 0) в уравнение $y = -x + 1$:
$0 = -1 + 1$, что также является верным равенством ($0=0$).
Следовательно, уравнение найдено верно.

Ответ: $y = -x + 1$

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки $M(-1; 3)$, $N(1; 4)$. Найдите координаты вектора нормали этой прямой.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки M(-1; 3), N(1; 4)

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $M(x_1; y_1)$ и $N(x_2; y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты данных точек $M(-1; 3)$ и $N(1; 4)$ в формулу, где $x_1 = -1, y_1 = 3$ и $x_2 = 1, y_2 = 4$:

$\frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{y - 3}{4 - 3}$

Упростим выражение:

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{1}$

Это каноническое уравнение прямой. Чтобы получить общее уравнение прямой вида $Ax + By + C = 0$, преобразуем полученное уравнение, используя основное свойство пропорции:

$1 \cdot (x + 1) = 2 \cdot (y - 3)$

$x + 1 = 2y - 6$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$x - 2y + 1 + 6 = 0$

$x - 2y + 7 = 0$

Ответ: $x - 2y + 7 = 0$.

Найдите координаты вектора нормали этой прямой

Вектор нормали $\vec{n}$ (или нормальный вектор) — это вектор, перпендикулярный данной прямой. Для прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, вектор с координатами $(A; B)$ является ее вектором нормали.

Из первой части задачи мы получили общее уравнение прямой: $x - 2y + 7 = 0$.

В этом уравнении коэффициенты при $x$ и $y$ равны:

$A = 1$

$B = -2$

Следовательно, координаты вектора нормали этой прямой есть $\vec{n} = (1; -2)$.

Ответ: $(1; -2)$.

6. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $A_0(2; 1)$ и направляющим вектором:

а) $\vec{m}(1; 1)$;

б) $\vec{m}(-1; 2)$.

Параметрические уравнения прямой на плоскости, которая проходит через точку $A_0(x_0; y_0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{m}(m_x; m_y)$, задаются системой уравнений:

$\begin{cases} x = x_0 + t \cdot m_x \\ y = y_0 + t \cdot m_y \end{cases}$

где $t$ — это параметр, принимающий любые действительные значения. В нашем случае дана точка $A_0(2; 1)$, следовательно, $x_0 = 2$ и $y_0 = 1$.

а)

Задан направляющий вектор $\vec{m}(1; 1)$, значит его компоненты $m_x = 1$ и $m_y = 1$. Подставим координаты точки $A_0$ и компоненты вектора $\vec{m}$ в общую формулу:

$\begin{cases} x = 2 + t \cdot 1 \\ y = 1 + t \cdot 1 \end{cases}$

После упрощения получаем параметрические уравнения для данной прямой:

$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \end{cases}$

Ответ: $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \end{cases}$

б)

Задан направляющий вектор $\vec{m}(-1; 2)$, значит его компоненты $m_x = -1$ и $m_y = 2$. Подставим координаты точки $A_0$ и компоненты вектора $\vec{m}$ в общую формулу:

$\begin{cases} x = 2 + t \cdot (-1) \\ y = 1 + t \cdot 2 \end{cases}$

После упрощения получаем параметрические уравнения для данной прямой:

$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \end{cases}$

Ответ: $\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \end{cases}$

7. Напишите уравнения прямых $a_1$, $a_2$, изображенных на рисунке 7.4.

Рис. 7.4

Для нахождения уравнений прямых воспользуемся общим видом уравнения прямой: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

a₁

1. Найдем коэффициент $b_1$. Это ордината точки пересечения прямой $a_1$ с осью $y$. Из рисунка видно, что прямая $a_1$ пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; 1)$. Следовательно, $b_1 = 1$.

2. Найдем угловой коэффициент $k_1$. Для этого возьмем две точки, через которые проходит прямая. Мы уже знаем точку $(0; 1)$. Вторая точка, хорошо видимая на графике, — это точка пересечения с осью $x$, ее координаты $(2; 0)$.

Угловой коэффициент вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты наших точек $(x_1, y_1) = (0, 1)$ и $(x_2, y_2) = (2, 0)$:

$k_1 = \frac{0 - 1}{2 - 0} = -\frac{1}{2}$.

3. Теперь подставим найденные значения $k_1 = -\frac{1}{2}$ и $b_1 = 1$ в общее уравнение прямой:

$y = -\frac{1}{2}x + 1$.

Это и есть уравнение прямой $a_1$.

Ответ: $a_1: y = -\frac{1}{2}x + 1$

a₂

1. Найдем коэффициент $b_2$. Прямая $a_2$ пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; 2)$. Следовательно, $b_2 = 2$.

2. Найдем угловой коэффициент $k_2$. Возьмем две точки на прямой $a_2$: точку пересечения с осью $y$ — $(0; 2)$ и точку пересечения с осью $x$ — $(-1; 0)$.

Подставим координаты точек $(x_1, y_1) = (0, 2)$ и $(x_2, y_2) = (-1, 0)$ в формулу для углового коэффициента:

$k_2 = \frac{0 - 2}{-1 - 0} = \frac{-2}{-1} = 2$.

3. Подставим найденные значения $k_2 = 2$ и $b_2 = 2$ в общее уравнение прямой:

$y = 2x + 2$.

Это уравнение прямой $a_2$.

Ответ: $a_2: y = 2x + 2$

8. Найдите расстояние от точки $O(0; 0)$ до прямой $x + y = 1$.

Для нахождения расстояния от точки до прямой воспользуемся формулой расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой, заданной в общем виде $Ax + By + C = 0$. Формула выглядит так:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Сначала приведем уравнение прямой $x + y = 1$ к общему виду. Для этого перенесем все слагаемые в одну сторону:

$x + y - 1 = 0$

Отсюда коэффициенты уравнения прямой: $A = 1$, $B = 1$, $C = -1$.

Координаты данной точки $O(0; 0)$ равны $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$.

Теперь подставим все известные значения в формулу для нахождения расстояния $d$:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$

Выполним вычисления:

$d = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, искомое расстояние равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

9. Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями:

а) $2x + y - 1 = 0$, $x - 2y + 3 = 0$;

б) $x + y + 1 = 0$, $x - y - 1 = 0$.

Нарисуйте эти прямые.

a)

Для нахождения угла между двумя прямыми, заданными общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, можно использовать их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$. Угол $\alpha$ между прямыми будет равен углу между их нормальными векторами. Косинус этого угла вычисляется по формуле:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$

Рассмотрим первую пару прямых:
$L_1: 2x + y - 1 = 0$
$L_2: x - 2y + 3 = 0$

Нормальные векторы к этим прямым:
$\vec{n_1} = (2, 1)$
$\vec{n_2} = (1, -2)$

Найдем скалярное произведение этих векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 2 - 2 = 0$

Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые перпендикулярны, а угол между ними составляет $90^\circ$.

Для построения графика каждой прямой найдем по две точки, принадлежащие ей.
Для прямой $2x + y - 1 = 0$:
- при $x=0$, $y=1$. Точка $(0, 1)$.
- при $y=0$, $2x=1 \implies x=0.5$. Точка $(0.5, 0)$.

Для прямой $x - 2y + 3 = 0$:
- при $x=0$, $-2y=-3 \implies y=1.5$. Точка $(0, 1.5)$.
- при $y=0$, $x=-3$. Точка $(-3, 0)$.

График прямых:

Ответ: $90^\circ$

б)

Аналогично пункту а), найдем угол между прямыми $x + y + 1 = 0$ и $x - y - 1 = 0$.

Рассмотрим вторую пару прямых:
$L_1: x + y + 1 = 0$
$L_2: x - y - 1 = 0$

Нормальные векторы к этим прямым:
$\vec{n_1} = (1, 1)$
$\vec{n_2} = (1, -1)$

Найдем скалярное произведение этих векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0$

Скалярное произведение снова равно нулю, что означает, что прямые перпендикулярны. Угол между ними составляет $90^\circ$.

Для построения графика каждой прямой найдем по две точки.
Для прямой $x + y + 1 = 0$:
- при $x=0$, $y=-1$. Точка $(0, -1)$.
- при $y=0$, $x=-1$. Точка $(-1, 0)$.

Для прямой $x - y - 1 = 0$:
- при $x=0$, $-y=1 \implies y=-1$. Точка $(0, -1)$.
- при $y=0$, $x=1$. Точка $(1, 0)$.

График прямых:

Ответ: $90^\circ$