Вопросы, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой вектор называется вектором нормали прямой?

2. Каким уравнением задается прямая, проходящая через данную точку с данным вектором нормали?

3. Каким уравнением задается прямая, проходящая через две данные точки?

4. В каком случае два уравнения определяют: а) параллельные прямые; б) одну и ту же прямую; в) пересекающиеся прямые?

5. Как вычисляется угол между пересекающимися прямыми?

6. В каком случае две прямые перпендикулярны?

7. Какие уравнения называются параметрическими?

8. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

9. Какими параметрическими уравнениями задается прямая, проходящая через данную точку с данным направляющим вектором?

10. В каком случае параметрические уравнения определяют: а) параллельные прямые; б) одну и ту же прямую; в) пересекающиеся прямые?

11. Какой формулой выражается расстояние от точки до прямой?

1. Какой вектор называется вектором нормали прямой?

Вектором нормали (или нормальным вектором) прямой на плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный (ортогональный) этой прямой. Если прямая задана общим уравнением $Ax+By+C=0$, то вектор $\vec{n}=(A, B)$ является ее вектором нормали.

Ответ: Ненулевой вектор, перпендикулярный данной прямой.

2. Каким уравнением задается прямая, проходящая через данную точку с данным вектором нормали?

Пусть прямая проходит через точку $M_0(x_0, y_0)$ и имеет вектор нормали $\vec{n}=(A, B)$. Для любой точки $M(x, y)$, лежащей на этой прямой, вектор $\vec{M_0M}=(x-x_0, y-y_0)$ будет перпендикулярен вектору нормали $\vec{n}$. Условие перпендикулярности двух векторов — равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0$.

Распишем это произведение в координатах:

$A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$.

Это и есть искомое уравнение прямой.

Ответ: $A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$.

3. Каким уравнением задается прямая, проходящая через две данные точки?

Пусть даны две различные точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, через которые проходит прямая. Возьмем на прямой произвольную точку $M(x, y)$. Векторы $\vec{M_1M}=(x-x_1, y-y_1)$ и $\vec{M_1M_2}=(x_2-x_1, y_2-y_1)$ лежат на одной прямой, то есть они коллинеарны. Условие коллинеарности двух векторов — пропорциональность их соответствующих координат. Отсюда получаем каноническое уравнение прямой:

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

Это уравнение справедливо, если $x_1 \ne x_2$ и $y_1 \ne y_2$. Если $x_1=x_2$, то прямая вертикальна и ее уравнение $x=x_1$. Если $y_1=y_2$, то прямая горизонтальна и ее уравнение $y=y_1$.

Ответ: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

4. В каком случае два уравнения определяют: а) параллельные прямые; б) одну и ту же прямую; в) пересекающиеся прямые?

Рассмотрим две прямые, заданные общими уравнениями: $l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$. Их векторы нормали равны $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$. Взаимное расположение прямых зависит от взаимного расположения их векторов нормали.

а) параллельные прямые

Прямые параллельны, если их векторы нормали коллинеарны, но сами прямые не совпадают. Коллинеарность векторов означает пропорциональность их координат. Таким образом, коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, а свободный член этой пропорции не удовлетворяет.

Ответ: Коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \ne \frac{C_1}{C_2}$.

б) одну и ту же прямую

Прямые совпадают, если их векторы нормали коллинеарны и они имеют хотя бы одну общую точку. Это равносильно тому, что все коэффициенты одного уравнения пропорциональны всем коэффициентам другого.

Ответ: Все коэффициенты уравнений пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

в) пересекающиеся прямые

Прямые пересекаются, если их векторы нормали не коллинеарны. Это означает, что их координаты не пропорциональны.

Ответ: Коэффициенты при координатах не пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} \ne \frac{B_1}{B_2}$.

5. Как вычисляется угол между пересекающимися прямыми?

Угол $\theta$ между двумя пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. Его можно найти как угол между их векторами нормали $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$. Косинус угла между векторами вычисляется через их скалярное произведение и модули. Чтобы гарантированно получить острый угол, используется модуль скалярного произведения.

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$.

Ответ: По формуле $\cos \theta = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$, где $(A_1, B_1)$ и $(A_2, B_2)$ — векторы нормали прямых.

6. В каком случае две прямые перпендикулярны?

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их векторы нормали $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ перпендикулярны (ортогональны). Условием ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

В координатной форме это условие записывается как $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$, то условие перпендикулярности имеет вид $k_1k_2 = -1$.

Ответ: Если скалярное произведение их векторов нормали равно нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

7. Какие уравнения называются параметрическими?

Параметрическими уравнениями прямой (или кривой) называются уравнения, в которых координаты точек этой прямой $(x, y)$ выражены как функции некоторой переменной, называемой параметром (обычно обозначается $t$). Каждому значению параметра $t$ из определенного множества (для прямой — из всех действительных чисел) соответствует единственная точка на прямой.

Ответ: Уравнения вида $\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}$, выражающие координаты точек линии через параметр $t$.

8. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный (коллинеарный) этой прямой. Если прямая задана каноническим уравнением $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b}$, то вектор $\vec{s}=(a, b)$ является ее направляющим вектором.

Ответ: Ненулевой вектор, параллельный данной прямой.

9. Какими параметрическими уравнениями задается прямая, проходящая через данную точку с данным направляющим вектором?

Пусть прямая проходит через точку $M_0(x_0, y_0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s}=(a, b)$. Для любой точки $M(x, y)$ на этой прямой вектор $\vec{M_0M}=(x-x_0, y-y_0)$ коллинеарен вектору $\vec{s}$. Это означает, что существует такое число $t$ (параметр), что $\vec{M_0M} = t\vec{s}$.

Записав это векторное равенство в координатах, $(x-x_0, y-y_0) = t(a, b) = (at, bt)$, получаем систему параметрических уравнений прямой:

$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$, где $t \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$.

10. В каком случае параметрические уравнения определяют: а) параллельные прямые; б) одну и ту же прямую; в) пересекающиеся прямые?

Рассмотрим две прямые, заданные параметрическими уравнениями: $l_1: \begin{cases} x = x_1 + a_1t \\ y = y_1 + b_1t \end{cases}$ и $l_2: \begin{cases} x = x_2 + a_2u \\ y = y_2 + b_2u \end{cases}$. Их направляющие векторы — $\vec{s_1}=(a_1, b_1)$ и $\vec{s_2}=(a_2, b_2)$, а $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$ — точки на этих прямых.

а) параллельные прямые

Прямые параллельны, если их направляющие векторы $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ коллинеарны, но прямые не совпадают. Коллинеарность векторов означает пропорциональность их координат. Несовпадение означает, что точка одной прямой (например, $M_1$) не лежит на другой, т.е. вектор $\vec{M_1M_2}=(x_2-x_1, y_2-y_1)$ не коллинеарен направляющим векторам.

Ответ: Направляющие векторы $\vec{s_1}=(a_1, b_1)$ и $\vec{s_2}=(a_2, b_2)$ коллинеарны, а вектор $\vec{M_1M_2}=(x_2-x_1, y_2-y_1)$ им не коллинеарен.

б) одну и ту же прямую

Прямые совпадают, если их направляющие векторы коллинеарны и они имеют общую точку. Это равносильно тому, что векторы $\vec{s_1}$, $\vec{s_2}$ и $\vec{M_1M_2}$ все коллинеарны.

Ответ: Направляющие векторы $\vec{s_1}=(a_1, b_1)$, $\vec{s_2}=(a_2, b_2)$ и вектор $\vec{M_1M_2}=(x_2-x_1, y_2-y_1)$ коллинеарны.

в) пересекающиеся прямые

Прямые на плоскости пересекаются, если их направляющие векторы не коллинеарны. Это означает, что их координаты не пропорциональны.

Ответ: Направляющие векторы $\vec{s_1}=(a_1, b_1)$ и $\vec{s_2}=(a_2, b_2)$ не коллинеарны.

11. Какой формулой выражается расстояние от точки до прямой?

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0, y_0)$ до прямой, заданной общим уравнением $Ax+By+C=0$, вычисляется как длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Эта величина находится по формуле, которая использует координаты точки и коэффициенты уравнения прямой.

Формула расстояния:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

В числителе стоит модуль значения левой части уравнения прямой, в которое подставлены координаты точки, а в знаменателе — модуль (длина) вектора нормали $\vec{n}=(A, B)$.

Ответ: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.