Номер 15, страница 35 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

$c(1, \sqrt{3}).$

15. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 3$, $BC = 2$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

Для решения задачи о нахождении скалярного произведения векторов диагоналей прямоугольника можно воспользоваться двумя основными методами: координатным и векторным.

Способ 1: Координатный метод

1. Введем прямоугольную систему координат. Удобно разместить вершину A в начале координат, т.е. $A(0, 0)$.

2. Расположим сторону $AB$ вдоль оси Ox, а сторону $AD$ вдоль оси Oy. Исходя из длин сторон, получим координаты остальных вершин:

- Координаты точки B: $B(3, 0)$, так как $AB = 3$.

- Координаты точки D: $D(0, 2)$, так как $AD = BC = 2$.

- Координаты точки C: $C(3, 2)$.

3. Теперь найдем координаты векторов диагоналей $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

- $\vec{AC} = (C_x - A_x; C_y - A_y) = (3 - 0; 2 - 0) = (3; 2)$.

- $\vec{BD} = (D_x - B_x; D_y - B_y) = (0 - 3; 2 - 0) = (-3; 2)$.

4. Скалярное произведение векторов $\vec{u}(x_1, y_1)$ и $\vec{v}(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 3 \cdot (-3) + 2 \cdot 2 = -9 + 4 = -5$.

Способ 2: Векторный метод

1. Выразим векторы диагоналей $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ через векторы смежных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

- По правилу параллелограмма: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

- Вектор второй диагонали: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.

2. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot (\vec{AD} - \vec{AB})$.

3. Используя свойство скалярного произведения, данное выражение можно упростить по аналогии с формулой разности квадратов: $(\vec{y} + \vec{x}) \cdot (\vec{y} - \vec{x}) = |\vec{y}|^2 - |\vec{x}|^2$.

Следовательно, $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = |\vec{AD}|^2 - |\vec{AB}|^2$.

4. Из условия задачи известны длины сторон (модули векторов): $|\vec{AB}| = AB = 3$ и $|\vec{AD}| = BC = 2$.

5. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 2^2 - 3^2 = 4 - 9 = -5$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: -5