Страница 35 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Докажите, что векторы с координатами $(a; b)$ и $(-b; a)$ перпендикулярны.

Для того чтобы доказать, что два вектора перпендикулярны, необходимо и достаточно показать, что их скалярное произведение равно нулю.

Обозначим данные векторы как $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$.
Координаты первого вектора: $\vec{v_1} = (a; b)$.
Координаты второго вектора: $\vec{v_2} = (-b; a)$.

Скалярное произведение двух векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $x_1 x_2 + y_1 y_2$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, подставив их координаты в формулу:
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = a \cdot (-b) + b \cdot a$

Упростим полученное выражение:
$a \cdot (-b) + b \cdot a = -ab + ab = 0$

Так как скалярное произведение данных векторов равно нулю, это доказывает, что они перпендикулярны.

Ответ: Скалярное произведение векторов с координатами $(a; b)$ и $(-b; a)$ равно $a \cdot (-b) + b \cdot a = -ab + ab = 0$. Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, что и требовалось доказать.

13. При каком значении $t$ вектор $2\vec{a} + t\vec{b}$ перпендикулярен вектору $\vec{a} + \vec{b}$, если $\vec{a}(2; -1)$, $\vec{b}(4; 3)$?

Два вектора являются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. В данной задаче требуется найти такое значение $t$, при котором вектор $2\vec{a} + t\vec{b}$ перпендикулярен вектору $\vec{a} + \vec{b}$.

Обозначим эти векторы как $\vec{p} = 2\vec{a} + t\vec{b}$ и $\vec{q} = \vec{a} + \vec{b}$. Условие их перпендикулярности: $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$.

Нам даны координаты векторов: $\vec{a}(2; -1)$ и $\vec{b}(4; 3)$.

1. Найдем координаты векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$.

Координаты вектора $\vec{p}$ вычисляются следующим образом:
$\vec{p} = 2\vec{a} + t\vec{b} = 2(2; -1) + t(4; 3) = (2 \cdot 2; 2 \cdot (-1)) + (4t; 3t) = (4; -2) + (4t; 3t) = (4 + 4t; -2 + 3t)$.

Координаты вектора $\vec{q}$:
$\vec{q} = \vec{a} + \vec{b} = (2; -1) + (4; 3) = (2+4; -1+3) = (6; 2)$.

2. Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$ и приравняем его к нулю. Скалярное произведение векторов $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находится по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (4 + 4t) \cdot 6 + (-2 + 3t) \cdot 2 = 0$.

3. Решим полученное уравнение относительно $t$.

$6(4 + 4t) + 2(-2 + 3t) = 0$
$24 + 24t - 4 + 6t = 0$
$(24t + 6t) + (24 - 4) = 0$
$30t + 20 = 0$
$30t = -20$
$t = -\frac{20}{30}$
$t = -\frac{2}{3}$

Ответ: $t = -\frac{2}{3}$.

14. Найдите угол A треугольника с вершинами A(-1; $\sqrt{3}$), B(1; $-\sqrt{3}$), C(1; $\sqrt{3}$).

Для нахождения угла A треугольника с вершинами A(-1; $\sqrt{3}$), B(1; -$\sqrt{3}$) и C(1; $\sqrt{3}$) можно воспользоваться векторами. Угол A — это угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

1. Находим координаты векторов.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (1 - (-1); -\sqrt{3} - \sqrt{3}) = (2; -2\sqrt{3})$

Для вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (1 - (-1); \sqrt{3} - \sqrt{3}) = (2; 0)$

2. Вычисляем косинус угла между векторами.

Косинус угла $\angle A$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ вычисляется по формуле:

$cos(\angle A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$

Сначала найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot 2 + (-2\sqrt{3}) \cdot 0 = 4 + 0 = 4$

Теперь найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

$|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 0} = 2$

Подставим полученные значения в формулу для косинуса:

$cos(\angle A) = \frac{4}{4 \cdot 2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

3. Находим угол A.

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $60°$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

$\angle A = arccos(\frac{1}{2}) = 60°$

Ответ: $60°$.

$c(1, \sqrt{3}).$

15. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 3$, $BC = 2$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

Для решения задачи о нахождении скалярного произведения векторов диагоналей прямоугольника можно воспользоваться двумя основными методами: координатным и векторным.

Способ 1: Координатный метод

1. Введем прямоугольную систему координат. Удобно разместить вершину A в начале координат, т.е. $A(0, 0)$.

2. Расположим сторону $AB$ вдоль оси Ox, а сторону $AD$ вдоль оси Oy. Исходя из длин сторон, получим координаты остальных вершин:

- Координаты точки B: $B(3, 0)$, так как $AB = 3$.

- Координаты точки D: $D(0, 2)$, так как $AD = BC = 2$.

- Координаты точки C: $C(3, 2)$.

3. Теперь найдем координаты векторов диагоналей $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

- $\vec{AC} = (C_x - A_x; C_y - A_y) = (3 - 0; 2 - 0) = (3; 2)$.

- $\vec{BD} = (D_x - B_x; D_y - B_y) = (0 - 3; 2 - 0) = (-3; 2)$.

4. Скалярное произведение векторов $\vec{u}(x_1, y_1)$ и $\vec{v}(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 3 \cdot (-3) + 2 \cdot 2 = -9 + 4 = -5$.

Способ 2: Векторный метод

1. Выразим векторы диагоналей $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ через векторы смежных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

- По правилу параллелограмма: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

- Вектор второй диагонали: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.

2. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot (\vec{AD} - \vec{AB})$.

3. Используя свойство скалярного произведения, данное выражение можно упростить по аналогии с формулой разности квадратов: $(\vec{y} + \vec{x}) \cdot (\vec{y} - \vec{x}) = |\vec{y}|^2 - |\vec{x}|^2$.

Следовательно, $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = |\vec{AD}|^2 - |\vec{AB}|^2$.

4. Из условия задачи известны длины сторон (модули векторов): $|\vec{AB}| = AB = 3$ и $|\vec{AD}| = BC = 2$.

5. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 2^2 - 3^2 = 4 - 9 = -5$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: -5

16. Вычислите работу $A$, которую совершает сила $\vec{F}(-3; 4)$, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения $B(5; -1)$ в положение $C(2; 1)$.

Работа $A$, совершаемая постоянной силой $\vec{F}$ при прямолинейном перемещении ее точки приложения, вычисляется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения $\vec{s}$.

Формула для вычисления работы: $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$.

По условию задачи, нам дан вектор силы $\vec{F} = (-3; 4)$.

Вектор перемещения $\vec{s}$ направлен из начальной точки $B(5; -1)$ в конечную точку $C(2; 1)$. Найдем его координаты, вычитая из координат конца координаты начала:

$\vec{s} = \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (2 - 5; 1 - (-1)) = (-3; 1 + 1) = (-3; 2)$.

Теперь вычислим работу $A$ как скалярное произведение векторов $\vec{F}$ и $\vec{s}$. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.

Подставим координаты векторов $\vec{F}$ и $\vec{s}$:

$A = \vec{F} \cdot \vec{s} = (-3) \cdot (-3) + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17$.

Ответ: 17.

17. Повторите уравнение прямой на координатной плоскости.

Уравнение прямой на координатной плоскости — это алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют координаты $ (x, y) $ каждой точки, лежащей на этой прямой, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней. Существует несколько форм записи этого уравнения.

Общее уравнение прямой

Наиболее общей формой является линейное уравнение относительно $x$ и $y$:

$Ax + By + C = 0$

Здесь $A$, $B$ и $C$ — это числовые коэффициенты, причем хотя бы один из коэффициентов $A$ или $B$ должен быть отличен от нуля. Вектор с координатами $\vec{n} = (A, B)$ является вектором нормали к прямой, то есть он перпендикулярен этой прямой.

Частные случаи:

1. Если $A=0$ (при $B \neq 0$), уравнение принимает вид $By + C = 0$ или $y = -C/B$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$.

2. Если $B=0$ (при $A \neq 0$), уравнение принимает вид $Ax + C = 0$ или $x = -A/C$. Это вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$.

3. Если $C=0$, уравнение $Ax + By = 0$ описывает прямую, проходящую через начало координат $(0, 0)$.

Ответ: Общее уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$, $C$ — действительные числа, и $A^2 + B^2 \neq 0$.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Эта форма является наиболее распространенной в школьном курсе. Она получается из общего уравнения, если коэффициент $B \neq 0$ и уравнение разрешено относительно $y$:

$y = kx + b$

В этом уравнении:

• $k$ — угловой коэффициент. Он равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс ($Ox$): $k = \tan(\alpha)$. Коэффициент $k$ показывает "наклон" прямой. Если $k > 0$, прямая возрастает. Если $k < 0$, прямая убывает. Если $k = 0$, прямая горизонтальна.

• $b$ — свободный член. Это ордината точки, в которой прямая пересекает ось ординат ($Oy$). Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, b)$.

Ответ: Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если известны координаты двух различных точек $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, через которые проходит прямая, ее уравнение можно записать в каноническом виде:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Эта формула применяется, когда прямая не параллельна осям координат, то есть $x_1 \neq x_2$ и $y_1 \neq y_2$. Если $x_1 = x_2$, то прямая вертикальна и ее уравнение $x = x_1$. Если $y_1 = y_2$, то прямая горизонтальна и ее уравнение $y = y_1$.

Ответ: Уравнение прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, записывается как $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении

Если известны координаты одной точки $M_0(x_0, y_0)$, принадлежащей прямой, и ее угловой коэффициент $k$, то уравнение прямой можно найти по формуле:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Эта форма также известна как "point-slope form" и очень удобна для решения практических задач.

Ответ: Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ и имеющей угловой коэффициент $k$, имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Уравнение прямой в отрезках

Если прямая отсекает на осях координат отрезки $a$ и $b$ (то есть пересекает ось $Ox$ в точке $(a, 0)$ и ось $Oy$ в точке $(0, b)$), то ее уравнение можно записать в виде:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Эта форма удобна для быстрого построения прямой. Она имеет смысл только если прямая не проходит через начало координат ($a \neq 0, b \neq 0$) и не параллельна ни одной из осей.

Ответ: Уравнение прямой в отрезках имеет вид $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где $a$ и $b$ — длины отрезков, отсекаемых прямой на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно.

18. Для прямой, заданной уравнением $2x + y - 3 = 0$, попробуйте найти координаты какого-нибудь вектора, перпендикулярного этой прямой.

Для нахождения вектора, перпендикулярного прямой, заданной общим уравнением, можно воспользоваться свойством этого уравнения. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид $Ax + By + C = 0$. Вектор с координатами, равными коэффициентам при переменных $x$ и $y$, то есть вектор $\vec{n} = (A; B)$, всегда перпендикулярен этой прямой. Такой вектор называется вектором нормали.

В нашем случае дано уравнение прямой: $2x + y - 3 = 0$.

Сравнивая это уравнение с общим видом $Ax + By + C = 0$, находим коэффициенты:
$A = 2$
$B = 1$

Таким образом, координаты вектора нормали $\vec{n}$ к данной прямой будут $(2; 1)$. Этот вектор и будет перпендикулярен прямой $2x + y - 3 = 0$.

Ответ: $(2; 1)$

19. Попробуйте написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной этому вектору $ \vec{n}(1; 2) $.

Для того чтобы написать уравнение прямой, воспользуемся общим уравнением прямой на плоскости и свойствами нормального вектора.

Общее уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$, где вектор $\vec{n}(A; B)$ является нормальным (перпендикулярным) вектором к этой прямой.

Согласно условию задачи, нам дан нормальный вектор $\vec{n}(1; 2)$. Это означает, что коэффициенты в уравнении прямой будут $A=1$ и $B=2$. Таким образом, уравнение нашей прямой принимает вид:

$1 \cdot x + 2 \cdot y + C = 0$

или

$x + 2y + C = 0$

Теперь нам нужно найти коэффициент $C$. Для этого воспользуемся вторым условием: прямая проходит через начало координат, то есть через точку $O(0; 0)$. Координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой.

Подставим координаты точки $O(0; 0)$ (где $x=0$ и $y=0$) в наше уравнение:

$1 \cdot (0) + 2 \cdot (0) + C = 0$

$0 + 0 + C = 0$

Отсюда получаем, что $C = 0$.

Подставив найденное значение $C=0$ обратно в уравнение прямой, мы получаем его окончательный вид:

$x + 2y + 0 = 0$

$x + 2y = 0$

Ответ: $x + 2y = 0$.