Страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Используя векторы, докажите, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой стороны AD и BC являются основаниями. По определению трапеции, $AD \parallel BC$. Пусть M — середина боковой стороны AB, а N — середина боковой стороны CD. Требуется доказать, что средняя линия MN параллельна основаниям AD и BC, и ее длина равна их полусумме.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выразим вектор $\vec{MN}$ двумя способами, используя правило многоугольника для сложения векторов:

1. Проходя через вершины A и D: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}$

2. Проходя через вершины B и C: $\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}$

Теперь сложим эти два векторных равенства:

$2\vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{AD} + \vec{BC}) + (\vec{DN} + \vec{CN})$

Рассмотрим суммы векторов, связанных с боковыми сторонами. Поскольку точка M является серединой отрезка AB, то векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ равны по модулю и противоположны по направлению, то есть $\vec{MA} = -\vec{MB}$. Следовательно, их сумма является нулевым вектором: $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$.

Аналогично, поскольку точка N является серединой отрезка CD, то векторы $\vec{DN}$ и $\vec{CN}$ также противоположны: $\vec{DN} = -\vec{CN}$. Их сумма также равна нулевому вектору: $\vec{DN} + \vec{CN} = \vec{0}$.

Подставим полученные результаты в наше уравнение для $2\vec{MN}$:

$2\vec{MN} = \vec{0} + (\vec{AD} + \vec{BC}) + \vec{0}$

Отсюда мы получаем ключевое векторное равенство для средней линии трапеции:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$

Из этого равенства следуют оба доказываемых свойства.

1. Доказательство параллельности.

По определению трапеции основания $AD$ и $BC$ параллельны. Это означает, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны. Сумма двух коллинеарных векторов есть вектор, коллинеарный каждому из слагаемых. Таким образом, вектор-сумма $(\vec{AD} + \vec{BC})$ коллинеарен и $\vec{AD}$, и $\vec{BC}$. Вектор $\vec{MN}$ равен вектору $(\vec{AD} + \vec{BC})$, умноженному на скаляр $\frac{1}{2}$. Умножение на ненулевой скаляр не изменяет направления вектора (сохраняет коллинеарность). Следовательно, вектор $\vec{MN}$ коллинеарен векторам оснований $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. Из коллинеарности векторов следует параллельность прямых, на которых они лежат. Значит, $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

2. Доказательство формулы длины.

Найдем длину (модуль) вектора $\vec{MN}$:

$|\vec{MN}| = |\frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})| = \frac{1}{2}|\vec{AD} + \vec{BC}|$

Поскольку основания трапеции параллельны, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны. В обычной трапеции они также сонаправлены. Для сонаправленных векторов модуль их суммы равен сумме их модулей: $|\vec{AD} + \vec{BC}| = |\vec{AD}| + |\vec{BC}|$. Подставим это в предыдущее выражение:

$|\vec{MN}| = \frac{1}{2}(|\vec{AD}| + |\vec{BC}|)$

Так как длина отрезка равна модулю соответствующего вектора ($MN = |\vec{MN}|$, $AD = |\vec{AD}|$, $BC = |\vec{BC}|$), то мы получаем формулу для длины средней линии:

$MN = \frac{AD + BC}{2}$

Таким образом, оба утверждения доказаны.

Ответ: Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а ее длина равна полусумме длин оснований, что и требовалось доказать с помощью векторов.

15. Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Докажите, что $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AF} = 3\vec{AD}$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Пусть дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Сгруппируем векторы в левой части выражения, используя симметрию шестиугольника относительно его главной диагонали $AD$:

$(\overline{AB} + \overline{AF}) + (\overline{AC} + \overline{AE}) + \overline{AD}$

Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника. Рассмотрим каждую группу векторов по отдельности.

1. Сумма $\overline{AB} + \overline{AF}$.По правилу параллелограмма, эта сумма представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах $\overline{AB}$ и $\overline{AF}$. В силу симметрии правильного шестиугольника, вектор-сумма направлен вдоль диагонали $AD$. Найдем его модуль. Пусть сторона шестиугольника равна $a$. Тогда $|\overline{AB}| = |\overline{AF}| = a$, а угол между ними $\angle FAB = 120^\circ$. Модуль суммы векторов можно найти по формуле:$|\overline{AB} + \overline{AF}| = 2|\overline{AB}|\cos(\frac{\angle FAB}{2}) = 2a \cos(\frac{120^\circ}{2}) = 2a \cos(60^\circ) = 2a \cdot \frac{1}{2} = a$.Вектор $\overline{AO}$ также направлен вдоль прямой $AD$ и его длина равна стороне шестиугольника $a$. Следовательно, векторы $\overline{AB} + \overline{AF}$ и $\overline{AO}$ равны.

$\overline{AB} + \overline{AF} = \overline{AO}$

2. Сумма $\overline{AC} + \overline{AE}$.Разложим векторы $\overline{AC}$ и $\overline{AE}$ по правилу треугольника, используя смежные стороны:

$\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}$

$\overline{AE} = \overline{AF} + \overline{FE}$

Сложив эти два равенства, получим:

$\overline{AC} + \overline{AE} = (\overline{AB} + \overline{AF}) + (\overline{BC} + \overline{FE})$

Из пункта 1 мы уже знаем, что $\overline{AB} + \overline{AF} = \overline{AO}$.Для правильного шестиугольника с центром $O$ верны следующие векторные равенства: $\overline{BC} = \overline{AO}$ и $\overline{FE} = \overline{AO}$.Подставим эти соотношения в выражение для суммы:

$\overline{AC} + \overline{AE} = \overline{AO} + (\overline{AO} + \overline{AO}) = 3\overline{AO}$

3. Теперь подставим найденные суммы обратно в исходное сгруппированное выражение:

$(\overline{AB} + \overline{AF}) + (\overline{AC} + \overline{AE}) + \overline{AD} = \overline{AO} + 3\overline{AO} + \overline{AD} = 4\overline{AO} + \overline{AD}$

В правильном шестиугольнике центр $O$ является серединой большой диагонали $AD$. Это означает, что вектор $\overline{AD}$ в два раза длиннее вектора $\overline{AO}$ и сонаправлен с ним, то есть $\overline{AD} = 2\overline{AO}$. Отсюда следует, что $4\overline{AO} = 2 \cdot (2\overline{AO}) = 2\overline{AD}$.

Окончательно получаем:

$4\overline{AO} + \overline{AD} = 2\overline{AD} + \overline{AD} = 3\overline{AD}$

Таким образом, мы доказали, что $\overline{AB} + \overline{AC} + \overline{AD} + \overline{AE} + \overline{AF} = 3\overline{AD}$.

Ответ: Равенство доказано.

16. Повторите определения угла и тригонометрических функций.

Определение угла

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла). Величину угла можно рассматривать как меру поворота одного луча вокруг вершины до совмещения с другим лучом.

Существует несколько единиц измерения углов, наиболее распространенными из которых являются градусы и радианы.

1. Градусная мера. Один градус ($1^\circ$) — это поворот, равный $1/360$ части полного оборота. Таким образом, полный оборот составляет $360^\circ$. Развернутый угол равен $180^\circ$, а прямой угол — $90^\circ$.

2. Радианная мера. Один радиан (1 рад) — это центральный угол в окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности. Так как длина всей окружности равна $2\pi R$, полный оборот содержит $2\pi$ радиан.

Связь между градусной и радианной мерами устанавливается соотношением: $180^\circ = \pi \text{ радиан}$.

Из этого соотношения следуют формулы для перевода:
- Для перевода градусов в радианы: $ \alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180} $.
- Для перевода радиан в градусы: $ \alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180}{\pi} $.

Поворот против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Ответ:

Определение тригонометрических функций

Тригонометрические функции — это функции угла. Их можно определить несколькими способами.

1. Через прямоугольный треугольник (для острых углов)
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Пусть $\alpha$ — острый угол, противолежащий катету $a$ и прилежащий к катету $b$.

- Синус (sin) угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} $

- Косинус (cos) угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} $

- Тангенс (tan) угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} $

- Котангенс (cot) угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $ \cot(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a} $

2. Через единичную окружность (для любого угла)
Рассмотрим в декартовой системе координат окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=1$ (единичная окружность). Возьмем на окружности точку $P_0(1,0)$. При повороте радиуса $OP_0$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки точка $P_0$ перейдет в точку $P_\alpha(x, y)$.

- Синус (sin) угла $\alpha$ — это ордината (координата $y$) точки $P_\alpha$: $ \sin(\alpha) = y $

- Косинус (cos) угла $\alpha$ — это абсцисса (координата $x$) точки $P_\alpha$: $ \cos(\alpha) = x $

- Тангенс (tan) угла $\alpha$ — это отношение синуса к косинусу (определен, когда $\cos(\alpha) \neq 0$): $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x} $

- Котангенс (cot) угла $\alpha$ — это отношение косинуса к синусу (определен, когда $\sin(\alpha) \neq 0$): $ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{x}{y} $

Также определяют еще две функции:
- Секанс (sec): $ \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} $
- Косеканс (csc): $ \csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)} $

Ответ:

17. Определите понятие угла между векторами.

Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол ($\alpha$) между лучами, выходящими из одной точки и сонаправленными с данными векторами.

Для нахождения этого угла векторы откладывают от общего начала — произвольной точки $O$. Если отложить от точки $O$ векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, то углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будет угол $\angle AOB$. Обозначается этот угол как $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Величина угла между векторами может принимать значения в диапазоне от $0$ до $\pi$ радиан (или от $0^\circ$ до $180^\circ$), то есть $0 \le \alpha \le \pi$.

Рассматривают следующие частные случаи:
• Если векторы сонаправлены (коллинеарны и направлены в одну сторону), то угол между ними равен $0$.
• Если векторы противоположно направлены (коллинеарны и направлены в разные стороны), то угол между ними равен $\pi$ ($180^\circ$).
• Если векторы перпендикулярны (ортогональны), то угол между ними равен $\pi/2$ ($90^\circ$).
• Важно отметить, что если хотя бы один из векторов является нулевым, то понятие угла между ними не определено.

Алгебраически угол между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется через их скалярное произведение. По определению, скалярное произведение векторов равно произведению их длин (модулей) на косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$

Из этого определения следует формула для нахождения косинуса угла между векторами:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной системе координат, например, на плоскости $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$ или в пространстве $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, то формула для косинуса угла (для случая в пространстве) принимает вид:
$\cos(\alpha) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Сам угол $\alpha$ находится с помощью обратной тригонометрической функции арккосинус:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right)$

Ответ: Угол между двумя ненулевыми векторами — это наименьший угол между направлениями этих векторов, если их начала совместить в одной точке. Его величина лежит в пределах от $0$ до $\pi$ радиан (от $0^\circ$ до $180^\circ$). Косинус этого угла вычисляется как отношение скалярного произведения векторов к произведению их длин (модулей): $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

18. Для квадрата ABCD найдите угол между векторами:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

в) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

а) $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$

Угол между двумя векторами определяется после приведения их к общему началу. Векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$ уже выходят из одной точки (вершины квадрата) $A$. Они направлены вдоль смежных сторон квадрата $AB$ и $AD$.

Так как в квадрате все внутренние углы прямые, то угол $\angle DAB = 90^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$

Оба вектора, $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$, имеют общее начало в точке $A$. Вектор $\overline{AB}$ направлен вдоль стороны квадрата, а вектор $\overline{AC}$ — вдоль его диагонали.

Диагональ квадрата делит его угол пополам (является биссектрисой). Поэтому диагональ $AC$ делит прямой угол $\angle DAB$ на два равных угла. Угол между векторами $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ равен углу $\angle CAB$.

$\angle CAB = \frac{\angle DAB}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

в) $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$

Векторы $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$ соответствуют диагоналям квадрата. Чтобы найти угол между ними, воспользуемся скалярным произведением.

Выразим векторы диагоналей через векторы сторон, выходящих из одной вершины $A$, то есть через $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$.

По правилу сложения векторов (правило параллелограмма): $\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{AD}$.

По правилу вычитания векторов: $\overline{BD} = \overline{AD} - \overline{AB}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$:

$\overline{AC} \cdot \overline{BD} = (\overline{AB} + \overline{AD}) \cdot (\overline{AD} - \overline{AB})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$(\overline{AB} + \overline{AD}) \cdot (\overline{AD} - \overline{AB}) = \overline{AB} \cdot \overline{AD} - \overline{AB} \cdot \overline{AB} + \overline{AD} \cdot \overline{AD} - \overline{AD} \cdot \overline{AB}$

В квадрате смежные стороны перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение $\overline{AB} \cdot \overline{AD} = 0$. Также длины сторон равны, пусть $|\overline{AB}| = |\overline{AD}| = a$. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\overline{AB} \cdot \overline{AB} = |\overline{AB}|^2 = a^2$ и $\overline{AD} \cdot \overline{AD} = |\overline{AD}|^2 = a^2$.

Подставим эти значения в выражение:

$0 - a^2 + a^2 - 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$ равно нулю, а сами векторы не являются нулевыми, то они взаимно перпендикулярны. Угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.