Номер 15, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Докажите, что $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AF} = 3\vec{AD}$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Пусть дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Сгруппируем векторы в левой части выражения, используя симметрию шестиугольника относительно его главной диагонали $AD$:

$(\overline{AB} + \overline{AF}) + (\overline{AC} + \overline{AE}) + \overline{AD}$

Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника. Рассмотрим каждую группу векторов по отдельности.

1. Сумма $\overline{AB} + \overline{AF}$.По правилу параллелограмма, эта сумма представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах $\overline{AB}$ и $\overline{AF}$. В силу симметрии правильного шестиугольника, вектор-сумма направлен вдоль диагонали $AD$. Найдем его модуль. Пусть сторона шестиугольника равна $a$. Тогда $|\overline{AB}| = |\overline{AF}| = a$, а угол между ними $\angle FAB = 120^\circ$. Модуль суммы векторов можно найти по формуле:$|\overline{AB} + \overline{AF}| = 2|\overline{AB}|\cos(\frac{\angle FAB}{2}) = 2a \cos(\frac{120^\circ}{2}) = 2a \cos(60^\circ) = 2a \cdot \frac{1}{2} = a$.Вектор $\overline{AO}$ также направлен вдоль прямой $AD$ и его длина равна стороне шестиугольника $a$. Следовательно, векторы $\overline{AB} + \overline{AF}$ и $\overline{AO}$ равны.

$\overline{AB} + \overline{AF} = \overline{AO}$

2. Сумма $\overline{AC} + \overline{AE}$.Разложим векторы $\overline{AC}$ и $\overline{AE}$ по правилу треугольника, используя смежные стороны:

$\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}$

$\overline{AE} = \overline{AF} + \overline{FE}$

Сложив эти два равенства, получим:

$\overline{AC} + \overline{AE} = (\overline{AB} + \overline{AF}) + (\overline{BC} + \overline{FE})$

Из пункта 1 мы уже знаем, что $\overline{AB} + \overline{AF} = \overline{AO}$.Для правильного шестиугольника с центром $O$ верны следующие векторные равенства: $\overline{BC} = \overline{AO}$ и $\overline{FE} = \overline{AO}$.Подставим эти соотношения в выражение для суммы:

$\overline{AC} + \overline{AE} = \overline{AO} + (\overline{AO} + \overline{AO}) = 3\overline{AO}$

3. Теперь подставим найденные суммы обратно в исходное сгруппированное выражение:

$(\overline{AB} + \overline{AF}) + (\overline{AC} + \overline{AE}) + \overline{AD} = \overline{AO} + 3\overline{AO} + \overline{AD} = 4\overline{AO} + \overline{AD}$

В правильном шестиугольнике центр $O$ является серединой большой диагонали $AD$. Это означает, что вектор $\overline{AD}$ в два раза длиннее вектора $\overline{AO}$ и сонаправлен с ним, то есть $\overline{AD} = 2\overline{AO}$. Отсюда следует, что $4\overline{AO} = 2 \cdot (2\overline{AO}) = 2\overline{AD}$.

Окончательно получаем:

$4\overline{AO} + \overline{AD} = 2\overline{AD} + \overline{AD} = 3\overline{AD}$

Таким образом, мы доказали, что $\overline{AB} + \overline{AC} + \overline{AD} + \overline{AE} + \overline{AF} = 3\overline{AD}$.

Ответ: Равенство доказано.