Номер 12, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Используя векторы, докажите, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $BC$. Тогда отрезок $MN$ является средней линией треугольника. Необходимо доказать, что средняя линия $MN$ параллельна стороне $AC$ и ее длина равна половине длины $AC$.

Для доказательства выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы сторон треугольника. По правилу сложения векторов (правило ломаной), мы можем записать:

$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN}$

Поскольку точка $M$ является серединой отрезка $AB$, то вектор $\vec{MB}$ составляет половину вектора $\vec{AB}$. Аналогично, поскольку точка $N$ является серединой отрезка $BC$, вектор $\vec{BN}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$. Запишем это в векторной форме:

$\vec{MB} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

$\vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

Теперь подставим эти выражения в формулу для вектора $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC})$

По правилу сложения векторов для треугольника $ABC$, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Подставив это в наше выражение для $\vec{MN}$, получаем итоговое соотношение:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$

Это векторное равенство доказывает оба утверждения теоремы о средней линии.

Первое: два ненулевых вектора коллинеарны (параллельны) тогда и только тогда, когда один из них можно выразить через другой умножением на число (скаляр). В нашем случае вектор $\vec{MN}$ равен вектору $\vec{AC}$, умноженному на скаляр $k = \frac{1}{2}$. Следовательно, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, а значит, прямые, на которых они лежат, параллельны, то есть $MN \parallel AC$.

Второе: модуль (длина) вектора $\vec{MN}$ связан с модулем вектора $\vec{AC}$ через тот же скаляр. Модуль произведения вектора на число равен произведению модуля числа на модуль вектора: $|\vec{MN}| = |\frac{1}{2}\vec{AC}| = |\frac{1}{2}| \cdot |\vec{AC}| = \frac{1}{2}|\vec{AC}|$. Так как длина вектора равна длине соответствующего отрезка, то $MN = \frac{1}{2}AC$.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине.

Ответ: Установлено векторное соотношение $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$, из которого следует, что средняя линия $MN$ параллельна стороне $AC$ и ее длина равна половине длины стороны $AC$, что и требовалось доказать.