Номер 10, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Точка C — середина отрезка AB, O — произвольная точка плоскости. Докажите, что $\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся правилами действий с векторами. Точка $O$ — произвольная точка плоскости, которую можно рассматривать как начало отсчета.

Выразим вектор $\vec{OC}$ по правилу треугольника, используя в качестве промежуточной точки $A$:

$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}$

Поскольку $C$ является серединой отрезка $AB$, то вектор $\vec{AC}$ составляет половину вектора $\vec{AB}$. То есть:

$\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Подставим это выражение в предыдущее равенство:

$\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AB}$

Теперь выразим вектор $\vec{AB}$ через векторы, выходящие из точки $O$, по правилу вычитания векторов (или по правилу треугольника $\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$):

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

Подставим это выражение для $\vec{AB}$ в нашу формулу для $\vec{OC}$:

$\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{1}{2}(\vec{OB} - \vec{OA})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB} - \frac{1}{2}\vec{OA}$

$\vec{OC} = (1 - \frac{1}{2})\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Альтернативный способ доказательства:

Выразим вектор $\vec{OC}$ двумя способами по правилу треугольника:

1) $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}$

2) $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{BC}$

Сложим эти два равенства:

$2\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{AC} + \vec{BC}$

Так как $C$ — середина отрезка $AB$, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору: $\vec{AC} + \vec{BC} = \vec{0}$.

Подставим это в наше уравнение:

$2\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{0}$

$2\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$

Разделив обе части на 2, получаем:

$\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.