Номер 4, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 4.4). Выразите вектор:

а) $\vec{AB}$;

б) $\vec{AD}$ через векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$.

Рис. 4.4

а) Чтобы выразить вектор $ \overrightarrow{AB} $, рассмотрим треугольник $AOB$. По правилу вычитания векторов, вектор, соединяющий концы двух векторов, исходящих из одной точки, равен разности этих векторов. В данном случае, $ \overrightarrow{AB} $ соединяет точки $A$ и $B$, а векторы $ \overrightarrow{OA} $ и $ \overrightarrow{OB} $ выходят из точки $O$. Тогда $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} $.
По условию нам даны векторы $ \overrightarrow{AO} $ и $ \overrightarrow{BO} $. Мы знаем, что $ \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{AO} $ и $ \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{BO} $.
Подставим эти выражения в полученную формулу:
$ \overrightarrow{AB} = (-\overrightarrow{BO}) - (-\overrightarrow{AO}) = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BO} $.
Другой способ — по правилу треугольника: $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} $. Так как $ \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{BO} $, получаем $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BO} $.
Ответ: $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BO} $.

б) Чтобы выразить вектор $ \overrightarrow{AD} $, рассмотрим треугольник $AOD$. По правилу сложения векторов (правило треугольника): $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD} $.
В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ точкой пересечения $O$ делятся пополам. Это означает, что $O$ является серединой диагонали $BD$. Следовательно, векторы $ \overrightarrow{BO} $ и $ \overrightarrow{OD} $ равны, так как они сонаправлены (оба направлены от края диагонали к ее центру) и имеют одинаковую длину ($BO = OD$). Таким образом, $ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BO} $.
Подставим это в формулу для $ \overrightarrow{AD} $:
$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} $.
Ответ: $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} $.