Номер 17, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Повторите определение коллинеарных векторов.

18. В.

Определение коллинеарных векторов

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор ($\vec{0}$) по определению считается коллинеарным любому вектору.

Слово "коллинеарный" происходит от латинских слов "co" (вместе) и "linearis" (линейный), что дословно означает "принадлежащие одной линии".

Коллинеарные векторы могут быть:
• Сонаправленными: если они направлены в одну сторону. Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ это обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.
• Противоположно направленными: если они направлены в противоположные стороны. Это обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Алгебраическое условие коллинеарности

Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число $k$ (называемое скаляром или коэффициентом пропорциональности), что выполняется равенство:
$\vec{b} = k \cdot \vec{a}$
При этом:
• Если $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.
• Если $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.
• Если $k = 0$, то $\vec{b}$ является нулевым вектором ($\vec{b} = \vec{0}$).

Условие коллинеарности в координатах

Если векторы на плоскости или в пространстве заданы своими координатами, например, $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, то они коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что $x_2 = k \cdot x_1$, $y_2 = k \cdot y_1$ и $z_2 = k \cdot z_1$.
Если все координаты вектора $\vec{a}$ отличны от нуля, это условие можно записать в виде пропорции:
$\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$
Если какая-то из координат вектора $\vec{a}$ равна нулю (например, $x_1 = 0$), то для коллинеарности соответствующая координата вектора $\vec{b}$ также должна быть равна нулю ($x_2 = 0$).

Пример: Векторы $\vec{m} = \{2; -1; 5\}$ и $\vec{n} = \{6; -3; 15\}$ коллинеарны, так как $\vec{n} = 3 \cdot \vec{m}$. Здесь $k=3 > 0$, следовательно, векторы сонаправлены. Вектор $\vec{p} = \{-4; 2; -10\}$ также коллинеарен вектору $\vec{m}$, так как $\vec{p} = -2 \cdot \vec{m}$. Здесь $k=-2 < 0$, следовательно, векторы $\vec{m}$ и $\vec{p}$ противоположно направлены.

Ответ: Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что выполняется равенство $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$. Если векторы заданы в координатах, $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, то они коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть $x_2 = kx_1, y_2 = ky_1, z_2 = kz_1$ для некоторого числа $k$. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.