Номер 14, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

a, a, b, a, c, d, b, d, b.

14. Докажите, что выполняется равенство $t(\vec{a} - \vec{b}) = t\vec{a} - t\vec{b}$.

Для доказательства данного равенства воспользуемся координатным методом. Докажем утверждение для векторов на плоскости. Для векторов в пространстве доказательство будет полностью аналогичным.

Пусть даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами $\vec{a} = (a_1; a_2)$ и $\vec{b} = (b_1; b_2)$, и пусть $t$ – это произвольное действительное число (скаляр).

Рассмотрим левую часть равенства $t(\vec{a} - \vec{b})$ и преобразуем её.

1. Сначала выполним операцию вычитания векторов. Разность векторов находится путем вычитания их соответствующих координат:

$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1; a_2 - b_2)$

2. Теперь умножим полученный вектор $\vec{c}$ на скаляр $t$. Умножение вектора на число заключается в умножении каждой его координаты на это число:

$t(\vec{a} - \vec{b}) = t \cdot \vec{c} = (t(a_1 - b_1); t(a_2 - b_2))$

Раскроем скобки в каждой координате, используя распределительный закон умножения для действительных чисел:

$t(\vec{a} - \vec{b}) = (ta_1 - tb_1; ta_2 - tb_2)$

Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства $t\vec{a} - t\vec{b}$ и также преобразуем её.

1. Сначала умножим каждый из векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на скаляр $t$:

$t\vec{a} = t(a_1; a_2) = (ta_1; ta_2)$

$t\vec{b} = t(b_1; b_2) = (tb_1; tb_2)$

2. Теперь найдем разность полученных векторов $t\vec{a}$ и $t\vec{b}$:

$t\vec{a} - t\vec{b} = (ta_1; ta_2) - (tb_1; tb_2) = (ta_1 - tb_1; ta_2 - tb_2)$

Сравнивая итоговые выражения для левой и правой частей, мы видим, что они равны:

$(ta_1 - tb_1; ta_2 - tb_2) = (ta_1 - tb_1; ta_2 - tb_2)$

Таким образом, мы доказали, что $t(\vec{a} - \vec{b}) = t\vec{a} - t\vec{b}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $t(\vec{a} - \vec{b}) = t\vec{a} - t\vec{b}$ доказано. Преобразовав левую и правую части выражения с использованием определений операций над векторами в координатах (вычитание и умножение на скаляр), мы получили идентичные выражения для координат результирующего вектора, что подтверждает истинность равенства.