Номер 9, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В треугольнике ABC $AC = 8, BC = 6, \angle C = 90^\circ$. Найдите:

а) $\left|\overline{AC}\right| - \left|\overline{BC}\right|$;

б) $\left|\overline{AC} - \overline{BC}\right|$;

в) $\left|\overline{AC} - \frac{1}{2}\overline{AB}\right|$;

г) $\left|\overline{AC} - \frac{1}{2}\overline{AB}\right|$.

По условию задачи в треугольнике $ABC$ имеем: $AC = 8$, $BC = 6$, $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что треугольник является прямоугольным, а $AC$ и $BC$ - его катеты. Модули векторов равны длинам соответствующих сторон: $|\vec{AC}| = 8$ и $|\vec{BC}| = 6$.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора, так как она понадобится для дальнейших вычислений: $|\vec{AB}| = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

а) Требуется найти разность модулей (длин) векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$. Подставляя известные значения длин сторон, получаем: $|\vec{AC}| - |\vec{BC}| = 8 - 6 = 2$.
Ответ: 2

б) Требуется найти модуль разности векторов $|\vec{AC} - \vec{BC}|$. Разность векторов $\vec{AC} - \vec{BC}$ можно представить как сумму $\vec{AC} + (-\vec{BC})$. Вектор, противоположный $\vec{BC}$, есть вектор $\vec{CB}$. Таким образом, искомый вектор равен сумме $\vec{AC} + \vec{CB}$. По правилу треугольника для сложения векторов (конец одного вектора совмещается с началом другого), сумма $\vec{AC} + \vec{CB}$ равна вектору $\vec{AB}$. Следовательно, $|\vec{AC} - \vec{BC}| = |\vec{AB}|$. Длина гипотенузы $AB$ была найдена ранее и равна 10.
Ответ: 10

в) Данное выражение является разностью длин (модулей). Используем ранее вычисленную длину гипотенузы $|\vec{AB}| = 10$: $|\vec{AC}| - \frac{1}{2}|\vec{AB}| = 8 - \frac{1}{2} \cdot 10 = 8 - 5 = 3$.
Ответ: 3

г) Требуется найти модуль векторного выражения $|\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}|$. Пусть точка $M$ — это середина гипотенузы $AB$. Тогда вектор $\vec{AM}$ по определению равен $\frac{1}{2}\vec{AB}$. Исходное выражение можно переписать в виде $|\vec{AC} - \vec{AM}|$. По правилу треугольника для сложения векторов, $\vec{AM} + \vec{MC} = \vec{AC}$, откуда следует, что $\vec{MC} = \vec{AC} - \vec{AM}$. Таким образом, нам нужно найти модуль вектора $\vec{MC}$, то есть длину отрезка $MC$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ отрезок $MC$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. По свойству такой медианы, ее длина равна половине длины гипотенузы: $MC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$.
Ответ: 5