Номер 13, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В каком случае выполняются равенства:

а) $\bar{a} - \bar{b} = \bar{b} - \bar{a}$;

б) $\bar{a} - \bar{b} = -\bar{a} - \bar{b}$?

а)

Рассмотрим равенство $\vec{a} - \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$.

Для решения этого уравнения используем свойства операций над векторами. Перенесем все слагаемые, содержащие вектор $\vec{a}$, в левую часть равенства, а слагаемые, содержащие вектор $\vec{b}$, в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$\vec{a} + \vec{a} = \vec{b} + \vec{b}$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях равенства:

$2\vec{a} = 2\vec{b}$

Разделим обе части равенства на скаляр 2:

$\vec{a} = \vec{b}$

Таким образом, равенство выполняется в том случае, когда вектор $\vec{a}$ равен вектору $\vec{b}$. Равные векторы имеют одинаковые длины (модули) и одинаковое направление (сонаправлены).

Ответ: равенство выполняется, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то есть $\vec{a} = \vec{b}$.

б)

Рассмотрим равенство $\vec{a} - \vec{b} = -\vec{a} - \vec{b}$.

Используем алгебраические преобразования. Прибавим к обеим частям равенства вектор $\vec{b}$:

$(\vec{a} - \vec{b}) + \vec{b} = (-\vec{a} - \vec{b}) + \vec{b}$

$\vec{a} + (-\vec{b} + \vec{b}) = -\vec{a} + (-\vec{b} + \vec{b})$

Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору $\vec{0}$:

$\vec{a} + \vec{0} = -\vec{a} + \vec{0}$

$\vec{a} = -\vec{a}$

Теперь перенесем слагаемое $-\vec{a}$ из правой части в левую:

$\vec{a} + \vec{a} = \vec{0}$

$2\vec{a} = \vec{0}$

Разделим обе части на скаляр 2:

$\vec{a} = \vec{0}$

Таким образом, данное равенство справедливо тогда и только тогда, когда вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором. При этом вектор $\vec{b}$ может быть любым.

Ответ: равенство выполняется, если вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором, то есть $\vec{a} = \vec{0}$.