Задания, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите единственность числа $t$ самостоятельно.

Докажите единственность числа t самостоятельно.

Для доказательства единственности числа $t$, соответствующего точке на единичной окружности в заданном промежутке, воспользуемся методом от противного. Контекст задачи обычно подразумевает, что мы ищем число $t$ в определенном промежутке, длина которого равна $2\pi$ (длина окружности). Стандартным выбором является промежуток $[0, 2\pi)$. Докажем, что для любой точки $M$ на единичной окружности существует единственное число $t$ такое, что $t \in [0, 2\pi)$ и этому числу соответствует точка $M$.

Предположим обратное: пусть для некоторой точки $M$ на единичной окружности существуют два различных числа $t_1$ и $t_2$, которые ей соответствуют, и оба эти числа принадлежат промежутку $[0, 2\pi)$.

Итак, наше предположение: существуют $t_1, t_2$ такие, что:
1. $t_1 \neq t_2$
2. $t_1 \in [0, 2\pi)$
3. $t_2 \in [0, 2\pi)$
4. Оба числа $t_1$ и $t_2$ соответствуют одной и той же точке $M$.

Если двум числам (длинам дуг) $t_1$ и $t_2$ соответствует одна и та же точка на окружности, это означает, что они отличаются на целое число полных оборотов. Длина одного полного оборота по единичной окружности равна $2\pi$. Следовательно, разность между $t_1$ и $t_2$ должна быть кратна $2\pi$. Это можно записать в виде формулы: $t_1 - t_2 = 2\pi k$, где $k$ — некоторое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Поскольку мы предположили, что $t_1 \neq t_2$, их разность не равна нулю, а значит $k \neq 0$.

Не нарушая общности, будем считать, что $t_1 > t_2$. Так как оба числа принадлежат промежутку $[0, 2\pi)$, для них выполняются следующие неравенства: $0 \le t_2 < t_1 < 2\pi$.

Рассмотрим их разность $t_1 - t_2$.
С одной стороны, так как $t_1 > t_2$, то их разность положительна: $t_1 - t_2 > 0$.
С другой стороны, так как $t_1 < 2\pi$ и $t_2 \ge 0$, то $t_1 - t_2 < 2\pi - 0 = 2\pi$.

Таким образом, мы получили двойное неравенство для разности: $0 < t_1 - t_2 < 2\pi$.

Теперь объединим два наших вывода:
1. $t_1 - t_2 = 2\pi k$, где $k$ — целое, не равное нулю.
2. $0 < t_1 - t_2 < 2\pi$.
Подставим первое выражение во второе: $0 < 2\pi k < 2\pi$.

Разделим все части этого двойного неравенства на положительное число $2\pi$: $0 < k < 1$.

Мы получили, что $k$ — это число, которое строго больше 0 и строго меньше 1. Однако ранее мы установили, что $k$ — это целое число. Между 0 и 1 нет целых чисел. Мы пришли к противоречию.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании двух различных чисел $t_1$ и $t_2$ в промежутке $[0, 2\pi)$ для одной и той же точки было неверным. Следовательно, такое число может быть только одно.

Ответ: Единственность числа $t$ в промежутке $[0, 2\pi)$, соответствующего любой точке на единичной окружности, доказана.