Номер 18, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Для двух данных ненулевых коллинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ укажите число $t$, для которого выполняется равенство $\vec{b}=t\vec{a}$.

Выразите это число через длины векторов.

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются коллинеарными и ненулевыми, то по определению коллинеарности существует такое число $t$, что выполняется равенство $\vec{b} = t\vec{a}$.

Чтобы выразить число $t$ через длины векторов, найдем длины (модули) обеих частей этого равенства. Длина вектора обозначается как $|\vec{v}|$.

Возьмем длину от левой и правой частей равенства $\vec{b} = t\vec{a}$:

$|\vec{b}| = |t\vec{a}|$

Используя свойство длины вектора, согласно которому $|k\vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$ для любого скаляра $k$ и вектора $\vec{v}$, получаем:

$|\vec{b}| = |t| \cdot |\vec{a}|$

Так как вектор $\vec{a}$ ненулевой, его длина $|\vec{a}|$ не равна нулю, и мы можем выразить модуль числа $t$:

$|t| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

Теперь необходимо определить знак числа $t$. Знак зависит от направления векторов.

Случай 1: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$)

Если векторы имеют одинаковое направление, то скалярный множитель $t$ будет положительным, то есть $t > 0$. В этом случае $|t| = t$. Следовательно, для сонаправленных векторов:

$t = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

Ответ: $t = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

Случай 2: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$)

Если векторы имеют противоположные направления, то скалярный множитель $t$ будет отрицательным, то есть $t < 0$. В этом случае $|t| = -t$. Следовательно, для противоположно направленных векторов:

$-t = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

Умножив обе части на -1, получаем:

$t = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

Ответ: $t = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$