Номер 3, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 4.4). Выразите вектор:

а) $\vec{AO}$;

б) $\vec{BO}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Рис. 4.4

а)

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$ и точкой пересечения делятся пополам. Это одно из основных свойств параллелограмма. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$.

Это означает, что вектор $\vec{AO}$ сонаправлен с вектором $\vec{AC}$ и его длина в два раза меньше. Математически это записывается так:

$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$

Теперь необходимо выразить вектор диагонали $\vec{AC}$ через заданные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. По правилу параллелограмма для сложения векторов, вектор диагонали, исходящей из общей вершины с двумя сторонами, равен сумме векторов этих сторон.

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Подставим это выражение в формулу для $\vec{AO}$:

$\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$

Это выражение можно также записать в виде:

$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$

Ответ: $\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$

б)

Аналогично пункту а), точка $O$ является серединой диагонали $BD$.

Следовательно, вектор $\vec{BO}$ равен половине вектора $\vec{BD}$:

$\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD}$

Теперь выразим вектор второй диагонали $\vec{BD}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Для этого воспользуемся правилом треугольника. Чтобы найти вектор $\vec{BD}$, мы можем "пройти" из точки $B$ в точку $D$ через точку $A$. Этот путь состоит из двух векторов: $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$.

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Подставим это в предыдущее равенство:

$\vec{BD} = -\vec{AB} + \vec{AD}$

Для удобства записи поменяем слагаемые местами:

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{BD}$ в формулу для $\vec{BO}$:

$\vec{BO} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB})$

Раскрыв скобки, получим:

$\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AB}$

Ответ: $\vec{BO} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB})$