Номер 8, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – медианы треугольника $ABC$ (рис. 4.7).

Выразите векторы:
а) $AA_1$;
б) $BB_1$;
в) $CC_1$ через векторы $\vec{b} = \vec{AC}$ и $\vec{c} = \vec{AB}$.

Рис. 4.7

a) $\overline{AA_1}$
По определению медианы, точка $A_1$ является серединой стороны $BC$. Чтобы выразить вектор медианы $\overline{AA_1}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника): $\overline{AA_1} = \overline{AB} + \overline{BA_1}$.
Из условия задачи мы знаем, что $\overline{AB} = \vec{c}$.
Так как $A_1$ — середина отрезка $BC$, то вектор $\overline{BA_1}$ равен половине вектора $\overline{BC}$, то есть $\overline{BA_1} = \frac{1}{2}\overline{BC}$.
Вектор $\overline{BC}$ можно выразить через векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ по правилу вычитания векторов: $\overline{BC} = \overline{AC} - \overline{AB}$.
Подставляя данные нам обозначения $\overline{AC} = \vec{b}$ и $\overline{AB} = \vec{c}$, получаем: $\overline{BC} = \vec{b} - \vec{c}$.
Следовательно, $\overline{BA_1} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{c})$.
Теперь подставим полученные выражения в формулу для $\overline{AA_1}$:
$\overline{AA_1} = \overline{AB} + \overline{BA_1} = \vec{c} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{c}) = \vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
Также можно было использовать формулу вектора медианы, проведенной из вершины $A$: $\overline{AA_1} = \frac{1}{2}(\overline{AB} + \overline{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{b})$.
Ответ: $\overline{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.

б) $\overline{BB_1}$
Медиана $BB_1$ соединяет вершину $B$ с точкой $B_1$, которая является серединой стороны $AC$. Выразим вектор $\overline{BB_1}$ по правилу сложения векторов: $\overline{BB_1} = \overline{BA} + \overline{AB_1}$.
Вектор $\overline{BA}$ является противоположным вектору $\overline{AB}$, поэтому $\overline{BA} = -\overline{AB} = -\vec{c}$.
Поскольку $B_1$ — середина стороны $AC$, вектор $\overline{AB_1}$ равен половине вектора $\overline{AC}$: $\overline{AB_1} = \frac{1}{2}\overline{AC}$.
Из условия $\overline{AC} = \vec{b}$, следовательно $\overline{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
Теперь подставим найденные выражения в формулу для $\overline{BB_1}$:
$\overline{BB_1} = -\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}$.
Ответ: $\overline{BB_1} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}$.

в) $\overline{CC_1}$
Медиана $CC_1$ соединяет вершину $C$ с точкой $C_1$, которая является серединой стороны $AB$. Выразим вектор $\overline{CC_1}$ по правилу сложения векторов: $\overline{CC_1} = \overline{CA} + \overline{AC_1}$.
Вектор $\overline{CA}$ является противоположным вектору $\overline{AC}$, поэтому $\overline{CA} = -\overline{AC} = -\vec{b}$.
Поскольку $C_1$ — середина стороны $AB$, вектор $\overline{AC_1}$ равен половине вектора $\overline{AB}$: $\overline{AC_1} = \frac{1}{2}\overline{AB}$.
Из условия $\overline{AB} = \vec{c}$, следовательно $\overline{AC_1} = \frac{1}{2}\vec{c}$.
Теперь подставим найденные выражения в формулу для $\overline{CC_1}$:
$\overline{CC_1} = -\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}$.
Ответ: $\overline{CC_1} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}$.