Номер 11, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Точка С принадлежит отрезку AB, $AC : AB = t$, O – произвольная точка плоскости. Докажите, что $\overline{OC} = (1-t)\overline{OA} + t\overline{OB}$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выразим радиус-вектор точки C, то есть вектор $\vec{OC}$, через радиус-векторы точек A и B. Начало всех радиус-векторов находится в произвольной точке O.

По правилу сложения векторов (правило треугольника для точек O, A, C) мы можем записать:

$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}$

Из условия задачи известно, что точка C принадлежит отрезку AB. Это означает, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны и сонаправлены. Также дано отношение длин отрезков $AC : AB = t$. Так как векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены, мы можем записать это отношение в векторном виде:

$\vec{AC} = t \cdot \vec{AB}$

Теперь выразим вектор $\vec{AB}$ через радиус-векторы его конца и начала. По правилу разности векторов:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

Подставим это выражение для $\vec{AB}$ в формулу для $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = t(\vec{OB} - \vec{OA})$

Наконец, подставим полученное выражение для вектора $\vec{AC}$ в самое первое равенство для $\vec{OC}$:

$\vec{OC} = \vec{OA} + t(\vec{OB} - \vec{OA})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие $\vec{OA}$:

$\vec{OC} = \vec{OA} + t\vec{OB} - t\vec{OA}$

$\vec{OC} = (1 - t)\vec{OA} + t\vec{OB}$

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ: $\vec{OC} = (1 - t)\vec{OA} + t\vec{OB}$.