Страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Выразите векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ через векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Чтобы выразить векторы через базисные векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$, необходимо найти их координаты. Координаты вектора определяются смещением его конечной точки относительно начальной вдоль осей, где сторона одной клетки сетки принимается за единицу длины. Вектор $\vec{i}$ соответствует смещению на одну клетку вправо, а вектор $\vec{j}$ — на одну клетку вверх.

$\vec{a}$

Для определения координат вектора $\vec{a}$ посчитаем смещение от его начала до конца. Вектор смещается на 2 клетки вправо (положительное направление оси x) и на 3 клетки вверх (положительное направление оси y). Следовательно, его разложение по базисным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ имеет вид:

$\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$

Ответ: $\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$

$\vec{b}$

Вектор $\vec{b}$ направлен вертикально вниз. Смещение по горизонтали отсутствует, поэтому его первая координата равна 0. Смещение по вертикали составляет 3 клетки вниз, что соответствует направлению, противоположному вектору $\vec{j}$. Таким образом, его вторая координата равна -3.

$\vec{b} = 0\vec{i} - 3\vec{j} = -3\vec{j}$

Ответ: $\vec{b} = -3\vec{j}$

$\vec{c}$

Вектор $\vec{c}$ смещается на 3 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Его горизонтальная компонента равна 3, а вертикальная компонента равна 2. Разложение по базисным векторам выглядит следующим образом:

$\vec{c} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$

Ответ: $\vec{c} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$

$\vec{d}$

Вектор $\vec{d}$ смещается на 1 клетку влево и на 1 клетку вверх. Смещение влево соответствует отрицательной координате по горизонтальной оси (-1), а смещение вверх — положительной координате по вертикальной оси (1). Таким образом, получаем:

$\vec{d} = -1\vec{i} + 1\vec{j} = -\vec{i} + \vec{j}$

Ответ: $\vec{d} = -\vec{i} + \vec{j}$

6. Диагонали правильного шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке O (рис. 4.3). Найдите такие числа t, s, для которых:

а) $\vec{AC} = t \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AD}$;

б) $\vec{AD} = t \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AF}$;

в) $\vec{AE} = t \cdot \vec{AD} + s \cdot \vec{BE}$.

Рис. 4.3

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов в правильном шестиугольнике ABCDEF с центром в точке O. В правильном шестиугольнике стороны равны, а также равно расстояние от центра до любой вершины. Это приводит к ряду полезных векторных соотношений.

а)

Требуется найти числа $t$ и $s$ для равенства $\vec{AC} = t \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AD}$.

1. Выразим вектор $\vec{AC}$ по правилу сложения векторов (правило треугольника):$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

2. В правильном шестиугольнике четырехугольник ABCO является ромбом, так как $AB = BC = CO = OA$ (все отрезки равны стороне шестиугольника). Из этого следует, что векторы, лежащие на его параллельных сторонах, равны. В частности, $\vec{BC} = \vec{AO}$.

3. Подставим это соотношение в выражение для $\vec{AC}$:$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AO}$.

4. Диагональ $\vec{AD}$ проходит через центр O, и точка O является её серединой. Следовательно, $\vec{AD} = 2\vec{AO}$, откуда $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

5. Подставим выражение для $\vec{AO}$ в формулу для $\vec{AC}$:$\vec{AC} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$.

6. Сравнивая полученное выражение с исходным уравнением $\vec{AC} = t \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AD}$, находим коэффициенты $t$ и $s$.

$t = 1$, $s = \frac{1}{2}$.

Ответ: $t=1$, $s=0.5$.

б)

Требуется найти числа $t$ и $s$ для равенства $\vec{AD} = t \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AF}$.

1. Как было установлено в пункте (а), главная диагональ $\vec{AD}$ связана с вектором $\vec{AO}$ соотношением $\vec{AD} = 2\vec{AO}$.

2. Рассмотрим треугольник ABO. По правилу сложения векторов, $\vec{AO} = \vec{AB} + \vec{BO}$.

3. В правильном шестиугольнике четырехугольник ABОF является параллелограммом (и даже ромбом), поскольку стороны AF и BO параллельны и равны по длине, так же как и стороны AB и FO. Отсюда следует векторное равенство $\vec{AF} = \vec{BO}$.

4. Подставим $\vec{BO} = \vec{AF}$ в выражение для $\vec{AO}$:$\vec{AO} = \vec{AB} + \vec{AF}$.

5. Теперь подставим это выражение в формулу для $\vec{AD}$:$\vec{AD} = 2\vec{AO} = 2(\vec{AB} + \vec{AF}) = 2\vec{AB} + 2\vec{AF}$.

6. Сравнивая полученное выражение с исходным уравнением $\vec{AD} = t \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AF}$, находим коэффициенты $t$ и $s$.

$t = 2$, $s = 2$.

Ответ: $t=2$, $s=2$.

в)

Требуется найти числа $t$ и $s$ для равенства $\vec{AE} = t \cdot \vec{AD} + s \cdot \vec{BE}$.

1. Для решения этой задачи удобно выбрать центр шестиугольника O в качестве начала отсчета. Тогда любой вектор $\vec{XY}$ можно представить как разность $\vec{OY} - \vec{OX}$.

2. Выразим векторы из уравнения через векторы, выходящие из центра O:$\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA}$$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA}$$\vec{BE} = \vec{OE} - \vec{OB}$

3. В правильном шестиугольнике векторы, проведенные из центра к противоположным вершинам, являются противоположными. То есть:$\vec{OD} = -\vec{OA}$$\vec{OE} = -\vec{OB}$

4. Подставим эти соотношения в выражения для векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BE}$:$\vec{AD} = -\vec{OA} - \vec{OA} = -2\vec{OA}$$\vec{BE} = -\vec{OB} - \vec{OB} = -2\vec{OB}$$\vec{AE} = -\vec{OB} - \vec{OA}$

5. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:$\vec{AE} = t \cdot \vec{AD} + s \cdot \vec{BE}$$-\vec{OB} - \vec{OA} = t \cdot (-2\vec{OA}) + s \cdot (-2\vec{OB})$$-\vec{OB} - \vec{OA} = -2t\vec{OA} - 2s\vec{OB}$

6. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми векторами:$(2s - 1)\vec{OB} + (2t - 1)\vec{OA} = \vec{0}$

7. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ не коллинеарны (угол между ними $60^\circ$). Линейная комбинация неколлинеарных векторов равна нулевому вектору только в том случае, если все коэффициенты равны нулю.Следовательно:$2s - 1 = 0 \Rightarrow 2s = 1 \Rightarrow s = \frac{1}{2}$$2t - 1 = 0 \Rightarrow 2t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$

Ответ: $t=0.5$, $s=0.5$.

7. Точки K и N – середины сторон соответственно $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ треугольника $ABC$ (рис. 4.6). Выразите векторы:

а) $\overline{BK}$;

б) $\overline{NC}$;

в) $\overline{KN}$;

г) $\overline{BN}$;

д) $\overline{CB}$ через векторы $\vec{a} = \overline{AK}, \vec{b} = \overline{AN}$.

Рис. 4.6

По условию задачи, K — середина стороны AB, а N — середина стороны AC треугольника ABC. Даны векторы $\vec{a} = \vec{AK}$ и $\vec{b} = \vec{AN}$.

Исходя из того, что K и N — середины сторон, мы можем выразить векторы сторон треугольника через данные векторы:

$\vec{AB} = 2 \cdot \vec{AK} = 2\vec{a}$

$\vec{AC} = 2 \cdot \vec{AN} = 2\vec{b}$

Теперь выразим требуемые векторы.

а) $\vec{BK}$
Вектор $\vec{BK}$ направлен из точки B в точку K. Он коллинеарен вектору $\vec{AK}$, но противоположно направлен. Так как K — середина AB, то длина вектора $\vec{BK}$ равна длине вектора $\vec{AK}$.
Следовательно, $\vec{BK} = -\vec{AK}$.
Так как $\vec{AK} = \vec{a}$, то $\vec{BK} = -\vec{a}$.
Ответ: $\vec{BK} = -\vec{a}$.

б) $\vec{NC}$
Вектор $\vec{NC}$ направлен из точки N в точку C. Так как N — середина AC, то вектор $\vec{NC}$ сонаправлен с вектором $\vec{AN}$ и равен ему по длине.
Следовательно, $\vec{NC} = \vec{AN}$.
Так как $\vec{AN} = \vec{b}$, то $\vec{NC} = \vec{b}$.
Ответ: $\vec{NC} = \vec{b}$.

в) $\vec{KN}$
Чтобы выразить вектор $\vec{KN}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника): $\vec{KN} = \vec{KA} + \vec{AN}$.
Вектор $\vec{KA}$ противоположен вектору $\vec{AK}$, поэтому $\vec{KA} = -\vec{AK} = -\vec{a}$.
Подставляя известные векторы, получаем: $\vec{KN} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{KN} = \vec{b} - \vec{a}$.

г) $\vec{BN}$
Выразим вектор $\vec{BN}$ по правилу треугольника: $\vec{BN} = \vec{BA} + \vec{AN}$.
Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -2\vec{a}$.
Подставляя известные векторы, получаем: $\vec{BN} = -2\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - 2\vec{a}$.
Ответ: $\vec{BN} = \vec{b} - 2\vec{a}$.

д) $\vec{CB}$
Выразим вектор $\vec{CB}$ по правилу треугольника: $\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB}$.
Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, поэтому $\vec{CA} = -\vec{AC} = -2\vec{b}$.
Подставляя известные векторы, получаем: $\vec{CB} = -2\vec{b} + 2\vec{a} = 2\vec{a} - 2\vec{b}$.
Ответ: $\vec{CB} = 2\vec{a} - 2\vec{b}$.

8. Отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – медианы треугольника $ABC$ (рис. 4.7).

Выразите векторы:
а) $AA_1$;
б) $BB_1$;
в) $CC_1$ через векторы $\vec{b} = \vec{AC}$ и $\vec{c} = \vec{AB}$.

Рис. 4.7

a) $\overline{AA_1}$
По определению медианы, точка $A_1$ является серединой стороны $BC$. Чтобы выразить вектор медианы $\overline{AA_1}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника): $\overline{AA_1} = \overline{AB} + \overline{BA_1}$.
Из условия задачи мы знаем, что $\overline{AB} = \vec{c}$.
Так как $A_1$ — середина отрезка $BC$, то вектор $\overline{BA_1}$ равен половине вектора $\overline{BC}$, то есть $\overline{BA_1} = \frac{1}{2}\overline{BC}$.
Вектор $\overline{BC}$ можно выразить через векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ по правилу вычитания векторов: $\overline{BC} = \overline{AC} - \overline{AB}$.
Подставляя данные нам обозначения $\overline{AC} = \vec{b}$ и $\overline{AB} = \vec{c}$, получаем: $\overline{BC} = \vec{b} - \vec{c}$.
Следовательно, $\overline{BA_1} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{c})$.
Теперь подставим полученные выражения в формулу для $\overline{AA_1}$:
$\overline{AA_1} = \overline{AB} + \overline{BA_1} = \vec{c} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{c}) = \vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
Также можно было использовать формулу вектора медианы, проведенной из вершины $A$: $\overline{AA_1} = \frac{1}{2}(\overline{AB} + \overline{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{b})$.
Ответ: $\overline{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.

б) $\overline{BB_1}$
Медиана $BB_1$ соединяет вершину $B$ с точкой $B_1$, которая является серединой стороны $AC$. Выразим вектор $\overline{BB_1}$ по правилу сложения векторов: $\overline{BB_1} = \overline{BA} + \overline{AB_1}$.
Вектор $\overline{BA}$ является противоположным вектору $\overline{AB}$, поэтому $\overline{BA} = -\overline{AB} = -\vec{c}$.
Поскольку $B_1$ — середина стороны $AC$, вектор $\overline{AB_1}$ равен половине вектора $\overline{AC}$: $\overline{AB_1} = \frac{1}{2}\overline{AC}$.
Из условия $\overline{AC} = \vec{b}$, следовательно $\overline{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
Теперь подставим найденные выражения в формулу для $\overline{BB_1}$:
$\overline{BB_1} = -\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}$.
Ответ: $\overline{BB_1} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}$.

в) $\overline{CC_1}$
Медиана $CC_1$ соединяет вершину $C$ с точкой $C_1$, которая является серединой стороны $AB$. Выразим вектор $\overline{CC_1}$ по правилу сложения векторов: $\overline{CC_1} = \overline{CA} + \overline{AC_1}$.
Вектор $\overline{CA}$ является противоположным вектору $\overline{AC}$, поэтому $\overline{CA} = -\overline{AC} = -\vec{b}$.
Поскольку $C_1$ — середина стороны $AB$, вектор $\overline{AC_1}$ равен половине вектора $\overline{AB}$: $\overline{AC_1} = \frac{1}{2}\overline{AB}$.
Из условия $\overline{AB} = \vec{c}$, следовательно $\overline{AC_1} = \frac{1}{2}\vec{c}$.
Теперь подставим найденные выражения в формулу для $\overline{CC_1}$:
$\overline{CC_1} = -\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}$.
Ответ: $\overline{CC_1} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}$.

9. Лодка движется от одного берега реки к другому со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$. Какова истинная скорость лодки?

Истинная скорость лодки — это её скорость относительно берега, которая складывается из двух составляющих: скорости лодки относительно воды и скорости течения реки. Лодка движется перпендикулярно берегу, а течение — параллельно ему. Таким образом, векторы этих двух скоростей перпендикулярны друг другу.

Обозначим скорость лодки относительно воды как $v_л = 4$ км/ч, а скорость течения реки как $v_т = 3$ км/ч.

Истинную скорость лодки $v_{ист}$ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, где катетами являются скорость лодки $v_л$ и скорость течения $v_т$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

$v_{ист}^2 = v_л^2 + v_т^2$

Подставим известные значения в формулу:

$v_{ист} = \sqrt{4^2 + 3^2}$

$v_{ист} = \sqrt{16 + 9}$

$v_{ист} = \sqrt{25}$

$v_{ист} = 5$ км/ч

Ответ: 5 км/ч.

10. Точка C — середина отрезка AB, O — произвольная точка плоскости. Докажите, что $\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся правилами действий с векторами. Точка $O$ — произвольная точка плоскости, которую можно рассматривать как начало отсчета.

Выразим вектор $\vec{OC}$ по правилу треугольника, используя в качестве промежуточной точки $A$:

$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}$

Поскольку $C$ является серединой отрезка $AB$, то вектор $\vec{AC}$ составляет половину вектора $\vec{AB}$. То есть:

$\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Подставим это выражение в предыдущее равенство:

$\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AB}$

Теперь выразим вектор $\vec{AB}$ через векторы, выходящие из точки $O$, по правилу вычитания векторов (или по правилу треугольника $\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$):

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

Подставим это выражение для $\vec{AB}$ в нашу формулу для $\vec{OC}$:

$\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{1}{2}(\vec{OB} - \vec{OA})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB} - \frac{1}{2}\vec{OA}$

$\vec{OC} = (1 - \frac{1}{2})\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Альтернативный способ доказательства:

Выразим вектор $\vec{OC}$ двумя способами по правилу треугольника:

1) $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}$

2) $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{BC}$

Сложим эти два равенства:

$2\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{AC} + \vec{BC}$

Так как $C$ — середина отрезка $AB$, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору: $\vec{AC} + \vec{BC} = \vec{0}$.

Подставим это в наше уравнение:

$2\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{0}$

$2\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$

Разделив обе части на 2, получаем:

$\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

11. Точка С принадлежит отрезку AB, $AC : AB = t$, O – произвольная точка плоскости. Докажите, что $\overline{OC} = (1-t)\overline{OA} + t\overline{OB}$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выразим радиус-вектор точки C, то есть вектор $\vec{OC}$, через радиус-векторы точек A и B. Начало всех радиус-векторов находится в произвольной точке O.

По правилу сложения векторов (правило треугольника для точек O, A, C) мы можем записать:

$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}$

Из условия задачи известно, что точка C принадлежит отрезку AB. Это означает, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны и сонаправлены. Также дано отношение длин отрезков $AC : AB = t$. Так как векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены, мы можем записать это отношение в векторном виде:

$\vec{AC} = t \cdot \vec{AB}$

Теперь выразим вектор $\vec{AB}$ через радиус-векторы его конца и начала. По правилу разности векторов:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

Подставим это выражение для $\vec{AB}$ в формулу для $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = t(\vec{OB} - \vec{OA})$

Наконец, подставим полученное выражение для вектора $\vec{AC}$ в самое первое равенство для $\vec{OC}$:

$\vec{OC} = \vec{OA} + t(\vec{OB} - \vec{OA})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие $\vec{OA}$:

$\vec{OC} = \vec{OA} + t\vec{OB} - t\vec{OA}$

$\vec{OC} = (1 - t)\vec{OA} + t\vec{OB}$

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ: $\vec{OC} = (1 - t)\vec{OA} + t\vec{OB}$.

12. Используя векторы, докажите, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $BC$. Тогда отрезок $MN$ является средней линией треугольника. Необходимо доказать, что средняя линия $MN$ параллельна стороне $AC$ и ее длина равна половине длины $AC$.

Для доказательства выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы сторон треугольника. По правилу сложения векторов (правило ломаной), мы можем записать:

$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN}$

Поскольку точка $M$ является серединой отрезка $AB$, то вектор $\vec{MB}$ составляет половину вектора $\vec{AB}$. Аналогично, поскольку точка $N$ является серединой отрезка $BC$, вектор $\vec{BN}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$. Запишем это в векторной форме:

$\vec{MB} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

$\vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

Теперь подставим эти выражения в формулу для вектора $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC})$

По правилу сложения векторов для треугольника $ABC$, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Подставив это в наше выражение для $\vec{MN}$, получаем итоговое соотношение:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$

Это векторное равенство доказывает оба утверждения теоремы о средней линии.

Первое: два ненулевых вектора коллинеарны (параллельны) тогда и только тогда, когда один из них можно выразить через другой умножением на число (скаляр). В нашем случае вектор $\vec{MN}$ равен вектору $\vec{AC}$, умноженному на скаляр $k = \frac{1}{2}$. Следовательно, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, а значит, прямые, на которых они лежат, параллельны, то есть $MN \parallel AC$.

Второе: модуль (длина) вектора $\vec{MN}$ связан с модулем вектора $\vec{AC}$ через тот же скаляр. Модуль произведения вектора на число равен произведению модуля числа на модуль вектора: $|\vec{MN}| = |\frac{1}{2}\vec{AC}| = |\frac{1}{2}| \cdot |\vec{AC}| = \frac{1}{2}|\vec{AC}|$. Так как длина вектора равна длине соответствующего отрезка, то $MN = \frac{1}{2}AC$.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине.

Ответ: Установлено векторное соотношение $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$, из которого следует, что средняя линия $MN$ параллельна стороне $AC$ и ее длина равна половине длины стороны $AC$, что и требовалось доказать.

13. O — точка пересечения медиан треугольника ABC, точка X — произвольная точка плоскости. Докажите, что $\overline{XO} = \frac{1}{3}(\overline{XA} + \overline{XB} + \overline{XC})$.

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилом сложения векторов и свойствами точки пересечения медиан треугольника (центроида).

Запишем векторы $\vec{XA}$, $\vec{XB}$ и $\vec{XC}$ с помощью правила треугольника для векторов, выразив их через векторы с общим началом в точке $O$:
$\vec{XA} = \vec{XO} + \vec{OA}$
$\vec{XB} = \vec{XO} + \vec{OB}$
$\vec{XC} = \vec{XO} + \vec{OC}$

Теперь подставим эти выражения в правую часть доказываемого равенства $\frac{1}{3}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC})$:
$\frac{1}{3}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC}) = \frac{1}{3}((\vec{XO} + \vec{OA}) + (\vec{XO} + \vec{OB}) + (\vec{XO} + \vec{OC}))$

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении:
$= \frac{1}{3}(3\vec{XO} + \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$
$= \vec{XO} + \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$

Для завершения доказательства нам необходимо показать, что для точки пересечения медиан $O$ справедливо равенство $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$.
Пусть $A_1$ — середина стороны $BC$. По определению медианы, вектор, проведенный к середине стороны из вершины противолежащего угла, является медианой. Вектор $\vec{OA_1}$ является вектором, проведенным из точки $O$ к середине стороны $BC$. По правилу параллелограмма для сложения векторов, сумма векторов, проведенных из одной точки к концам отрезка, равна удвоенному вектору, проведенному к середине этого отрезка:
$\vec{OB} + \vec{OC} = 2\vec{OA_1}$
Известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $AA_1$ это означает, что $AO:OA_1 = 2:1$. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OA_1}$ направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой (медианы $AA_1$), поэтому их связь выражается как:
$\vec{OA} = -2\vec{OA_1}$
Отсюда следует, что $2\vec{OA_1} = -\vec{OA}$.
Подставим это в наше первое соотношение:
$\vec{OB} + \vec{OC} = -\vec{OA}$
Перенеся $\vec{OA}$ в левую часть, получаем:
$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$

Теперь мы можем подставить полученный нулевой вектор в наше преобразованное выражение:
$\vec{XO} + \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = \vec{XO} + \frac{1}{3}(\vec{0}) = \vec{XO}$

Мы показали, что правая часть исходного равенства тождественно равна левой части:
$\frac{1}{3}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC}) = \vec{XO}$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $\vec{XO} = \frac{1}{3}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC})$ доказано на основе свойств векторов и точки пересечения медиан треугольника.