Страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как определяется произведение вектора $\vec{a}$ на число $t$?

2. Как обозначается произведение вектора $\vec{a}$ на число $t$?

3. Какой вектор называется противоположным данному вектору? Как он обозначается?

4. Что называется разностью двух векторов? Как она обозначается?

5. Сформулируйте сочетательный закон умножения вектора на число.

6. Сформулируйте первый распределительный закон умножения вектора на число.

7. Сформулируйте второй распределительный закон умножения вектора на число.

1. Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $t$ называется такой вектор $\vec{b}$, длина которого равна произведению модуля числа $t$ на длину вектора $\vec{a}$, то есть $|\vec{b}| = |t| \cdot |\vec{a}|$. Направление вектора $\vec{b}$ совпадает с направлением вектора $\vec{a}$, если $t > 0$, и противоположно направлению вектора $\vec{a}$, если $t < 0$. Если вектор $\vec{a}$ нулевой или число $t=0$, то их произведение равно нулевому вектору $\vec{0}$. Ответ:

2. Произведение вектора $\vec{a}$ на число $t$ обозначается как $t\vec{a}$ или $\vec{a}t$. Ответ:

3. Вектор, противоположный данному вектору $\vec{a}$, — это вектор, который имеет ту же длину (модуль), что и вектор $\vec{a}$, но направлен в противоположную сторону. Он является результатом умножения исходного вектора на число -1. Обозначается противоположный вектор как $-\vec{a}$. Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$. Ответ:

4. Разностью двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Также разность можно определить как сумму вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$. Обозначается разность как $\vec{a} - \vec{b}$, таким образом, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Ответ:

5. Сочетательный закон умножения вектора на число гласит, что для любого вектора $\vec{a}$ и любых чисел $k$ и $t$ справедливо равенство: $(kt)\vec{a} = k(t\vec{a})$. Это значит, что можно сначала перемножить числа, а потом умножить на вектор, или последовательно умножать вектор на каждое число. Ответ:

6. Первый распределительный закон умножения вектора на число (относительно сложения векторов) гласит, что для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любого числа $t$ справедливо равенство: $t(\vec{a} + \vec{b}) = t\vec{a} + t\vec{b}$. Чтобы умножить сумму векторов на число, можно умножить на это число каждый вектор в отдельности и результаты сложить. Ответ:

7. Второй распределительный закон умножения вектора на число (относительно сложения чисел) гласит, что для любого вектора $\vec{a}$ и любых чисел $k$ и $t$ справедливо равенство: $(k + t)\vec{a} = k\vec{a} + t\vec{a}$. Чтобы умножить вектор на сумму чисел, можно умножить вектор на каждое число в отдельности и полученные векторы сложить. Ответ:

1. В треугольнике ABC точки D, E — середины сторон соответственно AC и BC. Выразите вектор $\overline{DE}$ через вектор $\overline{AB}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, точка $D$ является серединой стороны $AC$, а точка $E$ — серединой стороны $BC$. Нам необходимо выразить вектор $\vec{DE}$ через вектор $\vec{AB}$.

Для выражения вектора $\vec{DE}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника), представив его как путь из точки $D$ в точку $E$ через вершину $C$. Вектор $\vec{DE}$ можно записать как сумму векторов $\vec{DC}$ и $\vec{CE}$:

$\vec{DE} = \vec{DC} + \vec{CE}$

Поскольку точка $D$ — середина отрезка $AC$, вектор $\vec{DC}$ составляет половину вектора $\vec{AC}$. Важно учесть направление: вектор $\vec{DC}$ направлен от $D$ к $C$, так же как и вектор $\vec{AC}$ (если считать от $A$ к $C$ и затем брать половину до $D$ и разворачивать). Проще записать, что $\vec{AD} = \vec{DC}$, что неверно. Правильно будет: $\vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{CA}$. Тогда $\vec{DC} = -\vec{CD} = -\frac{1}{2}\vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Но для нашего пути D-C-E, вектор $\vec{DC}$ - это вектор от D к C. Лучше воспользуемся другим путем: D -> A -> B -> E. Это слишком сложно.

Давайте используем разность векторов с общим началом в вершине $C$. Вектор $\vec{DE}$ можно выразить как разность векторов $\vec{CE}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{DE} = \vec{CE} - \vec{CD}$

По определению, точка $E$ — середина стороны $BC$, следовательно, вектор, идущий из вершины $C$ в точку $E$, равен половине вектора, идущего из $C$ в $B$:

$\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{CB}$

Аналогично, так как $D$ — середина стороны $AC$, то:

$\vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{CA}$

Теперь подставим эти выражения в формулу для вектора $\vec{DE}$:

$\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{CB} - \frac{1}{2}\vec{CA}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\vec{DE} = \frac{1}{2}(\vec{CB} - \vec{CA})$

По правилу вычитания векторов, разность $\vec{CB} - \vec{CA}$ равна вектору $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\vec{C} + \vec{CB}) - (\vec{C} + \vec{CA}) = \vec{CB} - \vec{CA}$

Таким образом, мы получаем искомое выражение:

$\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Этот результат является векторной формулировкой теоремы о средней линии треугольника: отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$, он параллелен стороне $AB$ и его длина равна половине длины $AB$.

Ответ: $\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

2. Даны векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ (рис. 3.3). Постройте вектор:

а) $\bar{a}-\bar{b}$

б) $\bar{a}+2\bar{b}$

Рис. 3.3

Для решения задачи сначала определим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по клеткам на рисунке. Примем сторону одной клетки за единицу.

Вектор $\vec{a}$ смещает свою начальную точку на 2 клетки вправо и на 3 клетки вверх. Таким образом, его координаты: $\vec{a} = \{2; 3\}$.

Вектор $\vec{b}$ смещает свою начальную точку на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Таким образом, его координаты: $\vec{b} = \{3; 1\}$.

а) $\vec{a}-\vec{b}$

Чтобы построить вектор разности $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, можно воспользоваться двумя способами:

1. Алгебраический способ (через координаты):
Вычитание векторов сводится к вычитанию их соответствующих координат.$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = \{2; 3\} - \{3; 1\} = \{2 - 3; 3 - 1\} = \{-1; 2\}$.Это означает, что искомый вектор будет направлен на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх.

2. Геометрическое построение (правило треугольника):
Вычитание вектора $\vec{b}$ эквивалентно прибавлению вектора $-\vec{b}$, который имеет такое же по модулю значение, но противоположное направление. Координаты вектора $-\vec{b}$ равны $\{-3; -1\}$.Для построения вектора $\vec{a} - \vec{b}$ нужно к концу вектора $\vec{a}$ приставить начало вектора $-\vec{b}$. Вектор, соединяющий начало вектора $\vec{a}$ и конец вектора $-\vec{b}$, и будет их разностью.На рисунке ниже это построение выполнено красным цветом (исходные векторы для построения показаны пунктиром).

Ответ: Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты $\{-1; 2\}$, то есть это вектор, направленный на 1 клетку влево и 2 клетки вверх.

б) $\vec{a}+2\vec{b}$

Чтобы построить вектор $\vec{d} = \vec{a} + 2\vec{b}$, сначала найдем вектор $2\vec{b}$.

1. Алгебраический способ (через координаты):
Умножение вектора на число означает умножение каждой его координаты на это число.$2\vec{b} = 2 \cdot \{3; 1\} = \{2 \cdot 3; 2 \cdot 1\} = \{6; 2\}$.Теперь сложим векторы $\vec{a}$ и $2\vec{b}$:$\vec{d} = \vec{a} + 2\vec{b} = \{2; 3\} + \{6; 2\} = \{2 + 6; 3 + 2\} = \{8; 5\}$.Это означает, что искомый вектор будет направлен на 8 клеток вправо и на 5 клеток вверх.

2. Геометрическое построение (правило многоугольника):
Вектор $2\vec{b}$ сонаправлен вектору $\vec{b}$ и в два раза длиннее его. Для построения суммы $\vec{a} + 2\vec{b}$ нужно к концу вектора $\vec{a}$ приставить начало вектора $2\vec{b}$. Вектор, соединяющий начало вектора $\vec{a}$ и конец вектора $2\vec{b}$, и будет их суммой.На рисунке ниже это построение выполнено синим цветом (исходные векторы для построения показаны пунктиром).

Ответ: Вектор $\vec{a} + 2\vec{b}$ имеет координаты $\{8; 5\}$, то есть это вектор, направленный на 8 клеток вправо и 5 клеток вверх.

Ниже представлен рисунок с геометрическим построением искомых векторов.

3. В треугольнике ABC (рис. 3.4) укажите векторы:

а) $\vec{AC} - \vec{AB}$;

б) $\vec{AB} - \vec{AC}$;

в) $\vec{BA} - \vec{BC}$;

г) $\vec{BA} - \vec{CA}$.

а)

Чтобы найти разность векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$, можно воспользоваться правилом вычитания векторов, имеющих общее начало. Разность векторов $\vec{u} - \vec{v}$ — это вектор, который соединяет конец вектора $\vec{v}$ с концом вектора $\vec{u}$. В данном случае, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ начинаются в точке $A$. Следовательно, их разность — это вектор, идущий от конца вычитаемого вектора ($\vec{AB}$, точка $B$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{AC}$, точка $C$).

Таким образом, $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$.

Другой способ — это заменить вычитание на сложение с противоположным вектором: $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{AC} + (-\vec{AB})$. Так как $-\vec{AB} = \vec{BA}$, то выражение примет вид: $\vec{AC} + \vec{BA}$. По правилу треугольника (правило Шаля) $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$.

Ответ: $\vec{BC}$

б)

Разность векторов $\vec{AB} - \vec{AC}$ находится аналогично предыдущему пункту. Оба вектора исходят из точки $A$. По правилу вычитания, результирующий вектор идет от конца вычитаемого вектора ($\vec{AC}$, точка $C$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{AB}$, точка $B$).

Следовательно, $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.

Также можно воспользоваться сложением с противоположным вектором: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + (-\vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{CA}$. Переставив слагаемые, получим: $\vec{CA} + \vec{AB}$. По правилу треугольника, $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

Ответ: $\vec{CB}$

в)

Для нахождения разности $\vec{BA} - \vec{BC}$ оба вектора исходят из точки $B$. Применим правило вычитания векторов. Результирующий вектор начинается в конце вычитаемого вектора ($\vec{BC}$, точка $C$) и заканчивается в конце уменьшаемого вектора ($\vec{BA}$, точка $A$).

Таким образом, $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$.

Используя сложение с противоположным вектором, получаем: $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{BA} + (-\vec{BC}) = \vec{BA} + \vec{CB}$. По правилу треугольника, сумма $\vec{CB} + \vec{BA}$ равна вектору $\vec{CA}$.

Ответ: $\vec{CA}$

г)

В выражении $\vec{BA} - \vec{CA}$ векторы имеют разные начальные точки. Для упрощения заменим вычитание на сложение с противоположным вектором. Вектор, противоположный $\vec{CA}$, это $\vec{AC}$, то есть $-\vec{CA} = \vec{AC}$.

Подставим это в исходное выражение: $\vec{BA} - \vec{CA} = \vec{BA} + \vec{AC}$.

Теперь мы можем применить правило треугольника для сложения векторов, так как конец первого вектора ($\vec{BA}$, точка $A$) совпадает с началом второго ($\vec{AC}$, точка $A$). Суммой будет вектор, идущий от начала первого вектора (точка $B$) к концу второго (точка $C$).

Таким образом, $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$.

Ответ: $\vec{BC}$

4. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 3.5). Укажите векторы:

а) $ \overline{AB} - \overline{AD} $

б) $ \overline{CB} - \overline{AB} $

в) $ \frac{1}{2}\overline{AC} + \frac{1}{2}\overline{BD} $

г) $ 2\overline{AB} + 2\overline{OD} $

5. Сторона параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $O$ справедливы следующие векторные соотношения:

• Противоположные стороны: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$.
• Правило треугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
• Правило параллелограмма: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
• Диагонали делятся точкой пересечения пополам: $\vec{AO} = \vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$. Обратите внимание, что $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ — это равные векторы (одинаковая длина и направление).

Используя эти свойства, найдем указанные векторы.

а) $\vec{AB} - \vec{AD}$

Разность векторов, выходящих из одной точки (в данном случае, A), — это вектор, который соединяет конец вычитаемого вектора (D) с концом уменьшаемого вектора (B). Таким образом, вектор разности направлен из D в B.
$\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$.
Это также можно увидеть из правила сложения: $\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$, откуда $\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$.
Ответ: $\vec{DB}$.

б) $\vec{CB} - \vec{AB}$

Вычитание вектора $\vec{AB}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{BA}$.
$\vec{CB} - \vec{AB} = \vec{CB} + \vec{BA}$.
По правилу треугольника (последовательное сложение векторов), сумма векторов $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$ — это вектор, идущий из начальной точки первого вектора (C) в конечную точку второго вектора (A).
$\vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CA}$.
Ответ: $\vec{CA}$.

в) $\frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD}$

Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, мы можем записать:
$\frac{1}{2}\vec{AC} = \vec{AO}$.
Также, поскольку $O$ — середина $BD$, векторы $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ равны. Таким образом, $\vec{BD} = \vec{BO} + \vec{OD} = 2\vec{OD}$, и, следовательно, $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.
Подставим эти выражения в исходное:
$\frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD} = \vec{AO} + \vec{OD}$.
По правилу треугольника, $\vec{AO} + \vec{OD} = \vec{AD}$.
Так как в параллелограмме $\vec{AD} = \vec{BC}$, то вектор $\vec{BC}$ также является верным ответом.
Ответ: $\vec{AD}$ (или $\vec{BC}$).

г) $2\vec{AB} + 2\vec{OD}$

Вынесем скалярный множитель 2 за скобки: $2(\vec{AB} + \vec{OD})$.
По свойству диагоналей параллелограмма, векторы $\vec{OD}$ и $\vec{BO}$ равны, так как они имеют одинаковую длину (половина диагонали $BD$) и одинаковое направление. Заменим $\vec{OD}$ на $\vec{BO}$:
$2(\vec{AB} + \vec{BO})$.
Теперь применим правило треугольника к сумме в скобках: $\vec{AB} + \vec{BO} = \vec{AO}$.
Выражение упрощается до $2\vec{AO}$.
Поскольку точка $O$ является серединой диагонали $AC$, вектор $\vec{AC}$ в два раза длиннее вектора $\vec{AO}$ и сонаправлен с ним, то есть $\vec{AC} = 2\vec{AO}$.
Следовательно, итоговый вектор равен $\vec{AC}$.
Ответ: $\vec{AC}$.

5. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 1. Найдите:

а) $\left| \overline{BA} - \overline{BC} \right|$;

б) $\left| \frac{1}{2} \overline{AB} - \overline{AC} \right|$.

По условию, дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной, равной 1. Это означает, что $AB = BC = CA = 1$, и все углы равны $60^\circ$.

а) $|\vec{BA} - \vec{BC}|$

Требуется найти модуль разности векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Разность двух векторов $\vec{a} - \vec{b}$, отложенных от одной точки, представляет собой вектор, соединяющий конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$. В нашем случае, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ начинаются в точке $B$. Следовательно, их разность $\vec{BA} - \vec{BC}$ — это вектор, который начинается в конечной точке вектора $\vec{BC}$ (точка $C$) и заканчивается в конечной точке вектора $\vec{BA}$ (точка $A$). Таким образом, $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$. Модуль этого вектора равен длине отрезка $CA$.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний со стороной 1, длина стороны $CA$ равна 1. Следовательно, $|\vec{BA} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = 1$.

Также можно решить задачу, используя скалярное произведение. Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{BA} - \vec{BC}|^2 = (\vec{BA} - \vec{BC}) \cdot (\vec{BA} - \vec{BC}) = |\vec{BA}|^2 - 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC}) + |\vec{BC}|^2$. Длины векторов $|\vec{BA}|$ и $|\vec{BC}|$ равны 1. Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ — это угол $\angle ABC$, который равен $60^\circ$. Скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Подставляем значения в формулу: $|\vec{BA} - \vec{BC}|^2 = 1^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 = 1 - 1 + 1 = 1$. Таким образом, $|\vec{BA} - \vec{BC}| = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $1$

б) $|\frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}|$

Требуется найти модуль вектора, равного разности $\frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда вектор $\vec{AM}$ равен $\frac{1}{2}\vec{AB}$. Выражение принимает вид $|\vec{AM} - \vec{AC}|$. Векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$ начинаются в одной точке $A$. Их разность $\vec{AM} - \vec{AC}$ — это вектор, идущий из конца вектора $\vec{AC}$ (точка $C$) в конец вектора $\vec{AM}$ (точка $M$). То есть, $\vec{AM} - \vec{AC} = \vec{CM}$. Наша задача — найти длину отрезка $CM$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. В нём известны длины двух сторон и угол между ними: длина стороны $AC$ равна 1; длина стороны $AM$ равна $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$; угол $\angle CAM$ (он же $\angle CAB$) равен $60^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $AMC$: $CM^2 = AC^2 + AM^2 - 2 \cdot AC \cdot AM \cdot \cos(\angle CAM)$. Подставим известные значения: $CM^2 = 1^2 + (\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(60^\circ)$. Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $CM^2 = 1 + \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{4+1-2}{4} = \frac{3}{4}$. Следовательно, длина отрезка $CM$ равна $\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $|\frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{CM}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

6. Диагонали AC и BD ромба ABCD равны соответственно 8 и 6.

Найдите длину вектора:

а) $ \vec{AB} - \vec{AD} $;

б) $ \vec{AD} - \vec{CD} $;

в) $ \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD} $;

г) $ 2\vec{AB} + 2\vec{OD} $.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Нам даны длины диагоналей: $|AC| = 8$ и $|BD| = 6$. Следовательно, длины их половин равны: $|AO| = |OC| = \frac{1}{2}|AC| = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$. $|BO| = |OD| = \frac{1}{2}|BD| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$. Треугольник $AOB$ является прямоугольным с катетами $AO$ и $BO$. По теореме Пифагора мы можем найти длину стороны ромба $AB$: $|AB| = \sqrt{|AO|^2 + |BO|^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$. Все стороны ромба равны, то есть $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = 5$.

а) Требуется найти длину вектора $\vec{AB} - \vec{AD}$. По определению разности векторов, имеющих общее начало (точка A), вектор разности $\vec{AB} - \vec{AD}$ — это вектор, идущий от конца второго вектора (D) к концу первого вектора (B). Таким образом, $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$. Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине диагонали $BD$. По условию $|BD| = 6$, следовательно, $|\vec{DB}| = 6$.
Ответ: 6.

б) Требуется найти длину вектора $\vec{AD} - \vec{CD}$. В ромбе, как и в любом параллелограмме, векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны. В частности, $\vec{CD} = \vec{BA}$. Произведем замену в выражении: $\vec{AD} - \vec{CD} = \vec{AD} - \vec{BA}$. Вычитание вектора $\vec{BA}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{AB}$, то есть $\vec{AD} - \vec{BA} = \vec{AD} + \vec{AB}$. По правилу параллелограмма, сумма векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$, отложенных от одной точки $A$, равна вектору диагонали, исходящей из этой же точки, то есть вектору $\vec{AC}$. Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине диагонали $AC$, которая по условию составляет 8. Таким образом, $|\vec{AD} - \vec{CD}| = |\vec{AC}| = 8$.
Ответ: 8.

в) Требуется найти длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD}$. Выразим векторы диагоналей через векторы сторон, выходящих из вершины A: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$ (по правилу параллелограмма) и $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$ (по правилу разности векторов). Подставим эти выражения в исходное: $\frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD}) = \frac{1}{2}((\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AD} - \vec{AB})) = \frac{1}{2}(2\vec{AD}) = \vec{AD}$. Следовательно, искомая длина равна длине вектора $\vec{AD}$, что соответствует длине стороны ромба. Как было вычислено ранее, сторона ромба равна 5.
Ответ: 5.

г) Требуется найти длину вектора $2\vec{AB} + 2\vec{OD}$. Так как точка $O$ является серединой диагонали $BD$, вектор $\vec{OD}$ равен половине вектора $\vec{BD}$, то есть $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$. Подставим это в выражение: $2\vec{AB} + 2(\frac{1}{2}\vec{BD}) = 2\vec{AB} + \vec{BD}$. Теперь, как и в предыдущем пункте, выразим $\vec{BD}$ через стороны: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$. Получаем: $2\vec{AB} + (\vec{AD} - \vec{AB}) = \vec{AB} + \vec{AD}$. Сумма векторов $\vec{AB} + \vec{AD}$ по правилу параллелограмма равна вектору диагонали $\vec{AC}$. Таким образом, искомый вектор равен $\vec{AC}$, а его длина равна длине диагонали $AC$, то есть 8.
Ответ: 8.