Страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие из векторов, изображенных на рисунке 1.5:

а) одинаково направлены;

б) противоположно направлены;

в) равны?

Рис. 1.5

а) одинаково направлены
Одинаково направленные (или сонаправленные) векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых и указывают в одном и том же направлении. Для определения таких векторов найдем координаты каждого вектора на сетке, приняв сторону клетки за единицу длины. Координаты вектора $\vec{a}$ записываются как $\{x; y\}$, где $x$ — смещение по горизонтали (вправо — положительное, влево — отрицательное), а $y$ — смещение по вертикали (вверх — положительное, вниз — отрицательное).
Координаты векторов:
$\vec{1}=\{0; 2\}$; $\vec{2}=\{0; -2\}$; $\vec{3}=\{2; 2\}$; $\vec{4}=\{1; -2\}$; $\vec{5}=\{2; 0\}$; $\vec{6}=\{1; 2\}$; $\vec{7}=\{0; -3\}$; $\vec{8}=\{0; 2\}$; $\vec{9}=\{-2; 0\}$; $\vec{10}=\{2; 0\}$; $\vec{11}=\{1; -2\}$; $\vec{12}=\{-2; 3\}$; $\vec{13}=\{3; 1\}$; $\vec{14}=\{2; 3\}$; $\vec{15}=\{2; 0\}$.
Два вектора $\vec{a}=\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2; y_2\}$ сонаправлены, если их координаты пропорциональны с положительным коэффициентом, то есть существует такое число $k > 0$, что $x_2 = k \cdot x_1$ и $y_2 = k \cdot y_1$.
Найдем группы сонаправленных векторов:
1. Векторы 1 и 8: $\vec{1}=\{0; 2\}$ и $\vec{8}=\{0; 2\}$. Их координаты равны ($k=1$), значит, они сонаправлены.
2. Векторы 2 и 7: $\vec{2}=\{0; -2\}$ и $\vec{7}=\{0; -3\}$. Координаты пропорциональны: $\vec{7} = 1.5 \cdot \vec{2}$. Так как $1.5 > 0$, они сонаправлены.
3. Векторы 4 и 11: $\vec{4}=\{1; -2\}$ и $\vec{11}=\{1; -2\}$. Их координаты равны ($k=1$), значит, они сонаправлены.
4. Векторы 5, 10 и 15: $\vec{5}=\{2; 0\}$, $\vec{10}=\{2; 0\}$ и $\vec{15}=\{2; 0\}$. Их координаты равны ($k=1$), значит, они сонаправлены.
Ответ: одинаково направлены векторы 1 и 8; 2 и 7; 4 и 11; 5, 10 и 15.

б) противоположно направлены
Противоположно направленные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых, но указывают в противоположных направлениях. Два вектора $\vec{a}=\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2; y_2\}$ противоположно направлены, если их координаты пропорциональны с отрицательным коэффициентом, то есть существует такое число $k < 0$, что $x_2 = k \cdot x_1$ и $y_2 = k \cdot y_1$.
Найдем пары противоположно направленных векторов:
1. Векторы 1 и 2: $\vec{1}=\{0; 2\}$ и $\vec{2}=\{0; -2\}$. $\vec{2} = -1 \cdot \vec{1}$, значит, они противоположно направлены.
2. Векторы 1 и 7: $\vec{1}=\{0; 2\}$ и $\vec{7}=\{0; -3\}$. $\vec{7} = -1.5 \cdot \vec{1}$, значит, они противоположно направлены.
3. Векторы 8 и 2: $\vec{8}=\{0; 2\}$ и $\vec{2}=\{0; -2\}$. $\vec{2} = -1 \cdot \vec{8}$, значит, они противоположно направлены.
4. Векторы 8 и 7: $\vec{8}=\{0; 2\}$ и $\vec{7}=\{0; -3\}$. $\vec{7} = -1.5 \cdot \vec{8}$, значит, они противоположно направлены.
5. Векторы 5 и 9: $\vec{5}=\{2; 0\}$ и $\vec{9}=\{-2; 0\}$. $\vec{9} = -1 \cdot \vec{5}$, значит, они противоположно направлены.
6. Векторы 10 и 9: $\vec{10}=\{2; 0\}$ и $\vec{9}=\{-2; 0\}$. $\vec{9} = -1 \cdot \vec{10}$, значит, они противоположно направлены.
7. Векторы 15 и 9: $\vec{15}=\{2; 0\}$ и $\vec{9}=\{-2; 0\}$. $\vec{9} = -1 \cdot \vec{15}$, значит, они противоположно направлены.
Ответ: противоположно направлены векторы 1 и 2; 1 и 7; 8 и 2; 8 и 7; 5 и 9; 10 и 9; 15 и 9.

в) равны
Равные векторы — это векторы, которые одинаково направлены и имеют одинаковую длину (модуль). Это означает, что их соответствующие координаты должны быть равны. То есть векторы $\vec{a}=\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2; y_2\}$ равны, если $x_1 = x_2$ и $y_1 = y_2$.
Из списка координат, полученного в пункте а), найдем группы векторов с полностью совпадающими координатами:
1. $\vec{1}=\{0; 2\}$ и $\vec{8}=\{0; 2\}$. Следовательно, $\vec{1} = \vec{8}$.
2. $\vec{4}=\{1; -2\}$ и $\vec{11}=\{1; -2\}$. Следовательно, $\vec{4} = \vec{11}$.
3. $\vec{5}=\{2; 0\}$, $\vec{10}=\{2; 0\}$ и $\vec{15}=\{2; 0\}$. Следовательно, $\vec{5} = \vec{10} = \vec{15}$.
Ответ: равны векторы 1 и 8; 4 и 11; 5, 10 и 15.

2. Сколько неравных векторов задают стороны прямоугольника (рис. 1.6)?

Рис. 1.6

2. Стороны прямоугольника $ABCD$ определяют 4 отрезка: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Каждый отрезок может задавать два противоположно направленных вектора. Таким образом, всего стороны прямоугольника задают 8 векторов:

$\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{BC}$, $\vec{CB}$, $\vec{CD}$, $\vec{DC}$, $\vec{DA}$ и $\vec{AD}$.

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление (сонаправлены). В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны равны по длине и параллельны. Это позволяет нам найти группы равных векторов.

1. Векторы, лежащие на сторонах $AB$ и $DC$.
Поскольку $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и имеют равные длины. Следовательно, они равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Аналогично, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены и имеют равные длины. Следовательно, они также равны: $\vec{BA} = \vec{CD}$.

2. Векторы, лежащие на сторонах $AD$ и $BC$.
Поскольку $AD$ и $BC$ параллельны и равны по длине, то векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены и имеют равные длины. Следовательно, они равны: $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Аналогично, векторы $\vec{DA}$ и $\vec{CB}$ сонаправлены и имеют равные длины. Следовательно, они также равны: $\vec{DA} = \vec{CB}$.

Теперь сгруппируем все 8 векторов по признаку равенства:

- Первая группа равных векторов: $\{\vec{AB}, \vec{DC}\}$
- Вторая группа равных векторов: $\{\vec{BA}, \vec{CD}\}$
- Третья группа равных векторов: $\{\vec{AD}, \vec{BC}\}$
- Четвертая группа равных векторов: $\{\vec{DA}, \vec{CB}\}$

Векторы из разных групп не равны друг другу. Например, вектор $\vec{AB}$ не равен вектору $\vec{BA}$, так как они противоположно направлены ($\vec{AB} = -\vec{BA}$). Вектор $\vec{AB}$ не равен вектору $\vec{AD}$, так как они не коллинеарны (перпендикулярны).

Таким образом, существует 4 группы равных векторов. Чтобы найти количество неравных векторов, нужно взять по одному представителю из каждой группы. Например, это могут быть векторы $\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{AD}$ и $\vec{DA}$. Все они не равны друг другу.

Следовательно, стороны прямоугольника задают 4 неравных вектора.

Ответ: 4.

3. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 1.7). Сколько имеется неравных векторов с началом и концом в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $O$?

Рис. 1.7

Для решения задачи необходимо найти все возможные векторы с началом и концом в точках A, B, C, D, O, а затем посчитать количество уникальных (неравных) векторов среди них. Всего имеется 5 точек, поэтому можно образовать $5 \times 5 = 25$ векторов, включая нулевые. Сгруппируем эти векторы по принципу равенства.

1. Нулевой вектор

Векторы, у которых начальная и конечная точки совпадают, являются нулевыми векторами. Все они равны между собой. В данном случае это векторы $\vec{AA}$, $\vec{BB}$, $\vec{CC}$, $\vec{DD}$, $\vec{OO}$. Все они представляют собой один уникальный вектор — нулевой вектор $\vec{0}$.

2. Векторы, образованные сторонами параллелограмма

По свойству параллелограмма $ABCD$ его противоположные стороны равны и параллельны. Это означает, что векторы, построенные на этих сторонах и одинаково направленные, равны.

Рассмотрим следующие группы равных векторов:

- Группа 1: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

- Группа 2: $\vec{BA} = \vec{CD}$. Векторы этой группы противоположны векторам из группы 1.

- Группа 3: $\vec{AD} = \vec{BC}$.

- Группа 4: $\vec{DA} = \vec{CB}$. Векторы этой группы противоположны векторам из группы 3.

Эти 8 векторов образуют 4 уникальных (неравных) вектора.

3. Векторы, образованные диагоналями параллелограмма

Диагонали параллелограмма в точке пересечения O делятся пополам. Из этого свойства следуют равенства для векторов, являющихся половинами диагоналей:

- Группа 5: $\vec{AO} = \vec{OC}$.

- Группа 6: $\vec{OA} = \vec{CO}$.

- Группа 7: $\vec{BO} = \vec{OD}$.

- Группа 8: $\vec{OB} = \vec{DO}$.

Эти 8 векторов образуют еще 4 уникальных вектора.

Кроме того, существуют векторы, которые совпадают с целыми диагоналями: $\vec{AC}$, $\vec{CA}$, $\vec{BD}$ и $\vec{DB}$. Каждый из этих 4 векторов уникален, так как они отличаются либо длиной, либо направлением от всех ранее рассмотренных векторов и друг от друга.

Таким образом, векторы, связанные с диагоналями, дают $4 + 4 = 8$ уникальных векторов.

4. Общее количество неравных векторов

Теперь сложим количество всех найденных уникальных векторов:

- 1 нулевой вектор.

- 4 уникальных вектора, связанных со сторонами.

- 8 уникальных векторов, связанных с диагоналями.

Итого: $1 + 4 + 8 = 13$.

Ответ: 13

4. Сколько неравных векторов задают стороны правильного шестиугольника ABCDEF (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Вектор определяется его длиной (модулем) и направлением. Два вектора равны, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны. Нам нужно найти количество уникальных, то есть не равных друг другу, векторов, которые можно построить на сторонах правильного шестиугольника.

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ имеет 6 сторон: $AB, BC, CD, DE, EF, FA$. Каждая сторона как отрезок может задавать два противоположно направленных вектора. Например, сторона $AB$ задает векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$. Таким образом, всего стороны шестиугольника задают $6 \times 2 = 12$ векторов:$\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}, \vec{DE}, \vec{EF}, \vec{FA}$ и их противоположные $\vec{BA}, \vec{CB}, \vec{DC}, \vec{ED}, \vec{FE}, \vec{AF}$.

Для нахождения количества неравных векторов, сгруппируем равные между собой. Воспользуемся свойствами правильного шестиугольника:

1. Все стороны равны по длине: $|AB| = |BC| = |CD| = |DE| = |EF| = |FA|$. Это означает, что все 12 векторов имеют одинаковый модуль. Следовательно, для равенства векторов достаточно, чтобы они были сонаправлены.

2. Противоположные стороны параллельны: $AB \parallel DE$, $BC \parallel EF$, $CD \parallel FA$.

Рассмотрим векторы, лежащие на параллельных сторонах:

1. Стороны $AB$ и $DE$ параллельны. При обходе вершин шестиугольника в одном направлении (например, против часовой стрелки $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F$), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DE}$ будут сонаправлены. Так как их длины равны, то векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DE}$. Соответственно, равны и их противоположные векторы: $\vec{BA} = \vec{ED}$.

2. Стороны $BC$ и $EF$ параллельны. Аналогично, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{EF}$ сонаправлены и равны по длине: $\vec{BC} = \vec{EF}$. Следовательно, равны и их противоположные векторы: $\vec{CB} = \vec{FE}$.

3. Стороны $CD$ и $FA$ параллельны. Векторы $\vec{CD}$ и $\vec{FA}$ сонаправлены и равны по длине: $\vec{CD} = \vec{FA}$. Следовательно, равны и их противоположные векторы: $\vec{DC} = \vec{AF}$.

Таким образом, все 12 векторов можно разбить на 6 пар равных векторов:

• $\{\vec{AB}, \vec{DE}\}$
• $\{\vec{BC}, \vec{EF}\}$
• $\{\vec{CD}, \vec{FA}\}$
• $\{\vec{BA}, \vec{ED}\}$
• $\{\vec{CB}, \vec{FE}\}$
• $\{\vec{DC}, \vec{AF}\}$

Каждая из этих пар представляет собой один уникальный вектор. Векторы из разных пар не равны, так как они имеют разное направление (например, $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ образуют угол $120^\circ$, а $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ противоположно направлены). Следовательно, количество неравных векторов равно количеству таких пар, то есть 6.

Ответ: 6

5. Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ и точки $O$ пересечения его диагоналей (рис. 1.8) запишите векторы с началом и концом в вершинах этого шестиугольника, равные вектору:

а) $\overline{AO}$;

б) $\overline{OC}$.

Рис. 1.8

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром в точке $O$ (точке пересечения диагоналей) состоит из шести одинаковых равносторонних треугольников ($\triangle AOB, \triangle BOC$ и т.д.). Это означает, что длина любой стороны шестиугольника равна расстоянию от любой вершины до центра $O$. Например, $|AB| = |BC| = |OA| = |OB| = |OC|$ и так далее.
Равные векторы — это векторы, которые имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление (сонаправлены). Мы будем искать векторы с началом и концом в вершинах шестиугольника, равные заданным.

a) Найдём векторы с началом и концом в вершинах шестиугольника, равные вектору $\vec{AO}$.
1. Рассмотрим четырехугольник $ABCO$. Его стороны $OA, AB, BC, CO$ равны, так как они являются радиусами описанной окружности и сторонами шестиугольника. Следовательно, $ABCO$ — ромб. В ромбе противоположные стороны параллельны и равны. Поэтому вектор $\vec{BC}$ параллелен вектору $\vec{AO}$, имеет ту же длину и то же направление. Таким образом, $\vec{AO} = \vec{BC}$.
2. Рассмотрим четырехугольник $EFAO$. Он также является ромбом, поскольку его стороны $OE, EF, FA, AO$ равны. Его противоположные стороны $EF$ и $AO$ параллельны. Вектор $\vec{EF}$ равен вектору $\vec{OA}$ (так как они сонаправлены и равны по длине). Нам же нужен вектор, равный $\vec{AO}$. Поскольку $\vec{AO} = -\vec{OA}$, то $\vec{AO} = -\vec{EF} = \vec{FE}$.
Ответ: $\vec{BC}$, $\vec{FE}$.

б) Найдём векторы с началом и концом в вершинах шестиугольника, равные вектору $\vec{OC}$.
1. Рассмотрим уже упомянутый ромб $ABCO$. Его противоположные стороны $OC$ и $AB$ параллельны и равны. Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $\vec{OC} = \vec{AB}$.
2. Рассмотрим четырехугольник $CDEO$. Он также является ромбом, так как его стороны $OC, CD, DE, EO$ равны. Его противоположные стороны $OC$ и $ED$ параллельны и равны. Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{ED}$ сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $\vec{OC} = \vec{ED}$.
Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{ED}$.

6. Диагонали единичного квадрата ABCD пересекаются в точке O (рис. 1.9). Найдите длину вектора:

а) $\vec{AC}$;

б) $\vec{BO}$;

в) $\vec{DB}$.

Рис. 1.9

Поскольку $ABCD$ — единичный квадрат, длина его стороны равна 1. Длина вектора равна длине соответствующего ему отрезка.

а) Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине диагонали $AC$ квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle B = 90^\circ$, а катеты $AB$ и $BC$ равны 1. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
$AC = \sqrt{2}$
Следовательно, длина вектора $\vec{AC}$ равна $\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

б) Длина вектора $\vec{BO}$ равна длине отрезка $BO$. Диагонали квадрата в точке пересечения $O$ делятся пополам и равны между собой ($AC = BD$). Значит, $BO$ равно половине длины диагонали $BD$.
$BD = AC = \sqrt{2}$
$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Следовательно, длина вектора $\vec{BO}$ равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине диагонали $DB$. Длина вектора не зависит от его направления, поэтому $|\vec{DB}| = |\vec{BD}|$. Диагонали квадрата равны, поэтому $DB = AC$.
$DB = AC = \sqrt{2}$
Следовательно, длина вектора $\vec{DB}$ равна $\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

7. Стороны правильного шестиугольника $ABCDEF$ равны 1, $O$ — точка пересечения его диагоналей (рис. 1.8). Найдите длину вектора:

а) $\overline{AB}$; б) $\overline{AC}$; в) $\overline{AD}$; г) $\overline{AE}$.

Рис. 1.8

а) Длина вектора $\vec{AB}$ — это длина отрезка $AB$. По условию, $ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной 1. Следовательно, длина стороны $AB$ равна 1. Таким образом, $|\vec{AB}| = 1$.
Ответ: 1.

б) Длина вектора $\vec{AC}$ — это длина малой диагонали $AC$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Стороны $AB=1$ и $BC=1$. Угол в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$, поэтому $\angle ABC = 120^\circ$. Для нахождения длины $AC$ воспользуемся теоремой косинусов:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$
Подставим известные значения:
$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
Отсюда $AC = \sqrt{3}$. Значит, $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

в) Длина вектора $\vec{AD}$ — это длина большой диагонали $AD$. Большая диагональ правильного шестиугольника проходит через его центр $O$ и состоит из двух отрезков, равных стороне шестиугольника ($AD = AO + OD$). Так как правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, то $AO = OD = AB = 1$.
Следовательно, $AD = 1 + 1 = 2$. Таким образом, $|\vec{AD}| = 2$.
Ответ: 2.

г) Длина вектора $\vec{AE}$ — это длина малой диагонали $AE$. В силу симметрии правильного шестиугольника, длина диагонали $AE$ равна длине диагонали $AC$.
$|\vec{AE}| = |\vec{AC}| = \sqrt{3}$.
Можно также вычислить, используя теорему косинусов для треугольника $AFE$, который равен треугольнику $ABC$.
Ответ: $\sqrt{3}$.