Страница 13 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(3; 2)$ и перпендикулярную оси:

а) $Ox$;

б) $Oy$.

Для решения задачи воспользуемся общим уравнением прямой на плоскости. Нам дана точка $A(3; 2)$, через которую должна проходить искомая прямая.

а) Прямая, перпендикулярная оси Ox
Ось Ox — это горизонтальная ось, уравнение которой $y = 0$. Любая прямая, перпендикулярная оси Ox, будет вертикальной. Уравнение вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — это постоянное значение абсциссы для всех точек этой прямой.
Поскольку прямая должна проходить через точку $A(3; 2)$, абсцисса любой точки на этой прямой должна быть равна абсциссе точки A, то есть 3.
Таким образом, уравнение искомой прямой: $x = 3$.
Ответ: $x = 3$

б) Прямая, перпендикулярная оси Oy
Ось Oy — это вертикальная ось, уравнение которой $x = 0$. Любая прямая, перпендикулярная оси Oy, будет горизонтальной. Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это постоянное значение ординаты для всех точек этой прямой.
Поскольку прямая должна проходить через точку $A(3; 2)$, ордината любой точки на этой прямой должна быть равна ординате точки A, то есть 2.
Таким образом, уравнение искомой прямой: $y = 2$.
Ответ: $y = 2$

21. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(-1; 2)$ с угловым коэффициентом:

а) $k = 1$;

б) $k = 2$;

в) $k = 0.5$

г) $k = -1$;

д) $k = -2$;

е) $k = -0.5$.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через заданную точку с известным угловым коэффициентом, используется уравнение $y - y_0 = k(x - x_0)$, где $(x_0, y_0)$ — координаты точки, а $k$ — угловой коэффициент. В данном случае, точка $A(-1; 2)$, следовательно $x_0 = -1$ и $y_0 = 2$. Подставляя эти значения, получаем общую формулу для всех подпунктов: $y - 2 = k(x - (-1))$, или $y - 2 = k(x + 1)$.

а) k = 1

Подставляем значение $k = 1$ в нашу формулу:

$y - 2 = 1 \cdot (x + 1)$

$y - 2 = x + 1$

$y = x + 1 + 2$

$y = x + 3$

Ответ: $y = x + 3$

б) k = 2

Подставляем значение $k = 2$ в формулу:

$y - 2 = 2 \cdot (x + 1)$

$y - 2 = 2x + 2$

$y = 2x + 2 + 2$

$y = 2x + 4$

Ответ: $y = 2x + 4$

в) k = 0,5

Подставляем значение $k = 0,5$ в формулу:

$y - 2 = 0,5 \cdot (x + 1)$

$y - 2 = 0,5x + 0,5$

$y = 0,5x + 0,5 + 2$

$y = 0,5x + 2,5$

Ответ: $y = 0,5x + 2,5$

г) k = -1

Подставляем значение $k = -1$ в формулу:

$y - 2 = -1 \cdot (x + 1)$

$y - 2 = -x - 1$

$y = -x - 1 + 2$

$y = -x + 1$

Ответ: $y = -x + 1$

д) k = -2

Подставляем значение $k = -2$ в формулу:

$y - 2 = -2 \cdot (x + 1)$

$y - 2 = -2x - 2$

$y = -2x - 2 + 2$

$y = -2x$

Ответ: $y = -2x$

е) k = -0,5

Подставляем значение $k = -0,5$ в формулу:

$y - 2 = -0,5 \cdot (x + 1)$

$y - 2 = -0,5x - 0,5$

$y = -0,5x - 0,5 + 2$

$y = -0,5x + 1,5$

Ответ: $y = -0,5x + 1,5$

22. На координатной плоскости изобразите квадрат, две противолежащие вершины которого имеют координаты $(1; 0)$ и $(4; 1)$.

Найдите его площадь.

Пусть данные противолежащие вершины квадрата — это точки $A(1; 0)$ и $C(4; 1)$. Отрезок $AC$ является диагональю этого квадрата. Для нахождения площади квадрата можно использовать формулу, связывающую площадь ($S$) с длиной его диагонали ($d$): $S = \frac{d^2}{2}$.

Сначала найдем квадрат длины диагонали $AC$, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Подставим координаты точек $A$ и $C$:

$d^2 = (4 - 1)^2 + (1 - 0)^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$.

Теперь, зная квадрат длины диагонали, мы можем вычислить площадь квадрата:

$S = \frac{d^2}{2} = \frac{10}{2} = 5$ (квадратных единиц).

Чтобы изобразить квадрат, необходимо найти координаты двух других вершин, назовем их $B$ и $D$. Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Центр квадрата (точка пересечения диагоналей) $M$ является серединой отрезка $AC$. Его координаты: $M = (\frac{1+4}{2}; \frac{0+1}{2}) = (2.5; 0.5)$. Используя свойства векторов или геометрические построения, можно найти, что координаты двух других вершин: $B(2; 2)$ и $D(3; -1)$. Таким образом, на координатной плоскости квадрат будет иметь вершины в точках $(1; 0)$, $(2; 2)$, $(4; 1)$ и $(3; -1)$.

Основной вопрос задачи — найти площадь. Мы ее уже вычислили.

Ответ: 5.

23.На координатной плоскости изобразите прямоугольник, три вершины которого имеют координаты $(-3; 0)$, $(-1; -2)$, $(0; 3)$. Найдите его площадь.

Для решения задачи сначала определим, какие из отрезков, соединяющих данные точки, являются сторонами прямоугольника, а какой — диагональю. Затем найдем длины сторон и вычислим площадь.

1. Построение прямоугольника и определение его сторон

Обозначим данные вершины как A(-3; 0), B(-1; -2) и C(0; 3). Чтобы понять их взаимное расположение, найдем квадраты расстояний между каждой парой точек. Расстояние $d$ между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадраты длин отрезков AB, BC и AC:

$|AB|^2 = (-1 - (-3))^2 + (-2 - 0)^2 = (2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$.

$|BC|^2 = (0 - (-1))^2 + (3 - (-2))^2 = (1)^2 + (5)^2 = 1 + 25 = 26$.

$|AC|^2 = (0 - (-3))^2 + (3 - 0)^2 = (3)^2 + (3)^2 = 9 + 9 = 18$.

Теперь проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника ABC. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Сравним суммы квадратов сторон: $8 + 18 = 26$.

Мы видим, что $|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2$. Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом при вершине A. Следовательно, отрезки AB и AC являются смежными сторонами (длиной и шириной) искомого прямоугольника, а отрезок BC — его диагональю.

Четвертую вершину D можно найти, используя правило параллелограмма (прямоугольник является частным случаем параллелограмма). Для прямоугольника ABDC, где A — вершина с прямым углом, вектор $\vec{AD}$ должен быть равен сумме векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Но проще использовать правило, что координаты четвертой вершины D(x; y) можно найти по формуле $\vec{D} = \vec{B} + \vec{C} - \vec{A}$.

$x_D = x_B + x_C - x_A = -1 + 0 - (-3) = 2$

$y_D = y_B + y_C - y_A = -2 + 3 - 0 = 1$

Таким образом, четвертая вершина имеет координаты D(2; 1). Прямоугольник можно изобразить, соединив последовательно вершины A(-3; 0), B(-1; -2), D(2; 1) и C(0; 3).

Ответ: Прямоугольник имеет вершины с координатами (-3; 0), (-1; -2), (2; 1), (0; 3).

2. Нахождение площади

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. В нашем случае это длины сторон AB и AC.

Длина стороны AB: $|AB| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Длина стороны AC: $|AC| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Вычислим площадь $S$:

$S = |AB| \cdot |AC| = \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12.

Найти его площадь.

24. На координатной плоскости изобразите параллелограмм $OABC$, для которого $O(0; 0)$, $A(3; 1)$, $B(3; 3)$. Найдите его площадь.

1. Нахождение координат четвертой вершины параллелограмма.

Пусть искомая вершина $C$ имеет координаты $(x_C, y_C)$. В параллелограмме $OABC$ стороны $OA$ и $CB$ параллельны и равны, а также стороны $OC$ и $AB$ параллельны и равны. Это означает, что векторы, представляющие эти стороны, равны. Воспользуемся равенством векторов $\vec{OC} = \vec{AB}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точек $A(3; 1)$ и $B(3; 3)$:$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - 3; 3 - 1) = (0; 2)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{OC}$, зная координаты точки $O(0; 0)$ и приняв координаты $C$ за $(x_C, y_C)$:$\vec{OC} = (x_C - x_O; y_C - y_O) = (x_C - 0; y_C - 0) = (x_C; y_C)$.

Так как $\vec{OC} = \vec{AB}$, то их соответствующие координаты равны:$(x_C; y_C) = (0; 2)$.Следовательно, вершина $C$ имеет координаты $(0; 2)$.

2. Изображение параллелограмма на координатной плоскости.

Теперь, когда известны координаты всех четырех вершин — $O(0; 0)$, $A(3; 1)$, $B(3; 3)$ и $C(0; 2)$ — можно построить параллелограмм. Для этого нужно отметить данные точки на координатной плоскости и последовательно соединить их отрезками.

3. Нахождение площади параллелограмма.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле произведения основания на высоту: $S = a \cdot h$.

В качестве основания $a$ удобно взять сторону $OC$, которая лежит на оси ординат (оси $Oy$). Длина этого основания равна расстоянию между точками $O(0; 0)$ и $C(0; 2)$:$a = |OC| = \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2$.

Высота $h$ — это перпендикулярное расстояние от прямой, содержащей основание $OC$ (то есть, от оси $Oy$, уравнение которой $x=0$), до параллельной ей прямой, содержащей сторону $AB$. Сторона $AB$ соединяет точки $A(3; 1)$ и $B(3; 3)$, следовательно, она лежит на вертикальной прямой, заданной уравнением $x=3$.

Расстояние между параллельными прямыми $x=0$ и $x=3$ равно $3$. Таким образом, высота $h = 3$.

Теперь вычислим площадь параллелограмма:$S = a \cdot h = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.

25. На координатной плоскости изобразите ромб ABCD, для которого $A(0; -2)$, $B(1; 0)$, $D(-1; 0)$. Найдите его площадь.

Для построения ромба $ABCD$ необходимо найти координаты четвертой вершины $C(x; y)$. В ромбе, как и в любом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Найдем координаты точки пересечения диагоналей $O$, которая является серединой известной диагонали $BD$.

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_O = \frac{x_B + x_D}{2}$, $y_O = \frac{y_B + y_D}{2}$.

Подставим координаты точек $B(1; 0)$ и $D(-1; 0)$:

$x_O = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_O = \frac{0 + 0}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(0; 0)$.

Точка $O$ также является серединой диагонали $AC$. Используя координаты точки $A(0; -2)$ и точки $O(0; 0)$, найдем координаты вершины $C(x_C; y_C)$:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow 0 = \frac{0 + x_C}{2} \Rightarrow x_C = 0$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow 0 = \frac{-2 + y_C}{2} \Rightarrow -2 + y_C = 0 \Rightarrow y_C = 2$

Координаты вершины $C$ равны $(0; 2)$.

Теперь мы имеем все четыре вершины ромба: $A(0; -2)$, $B(1; 0)$, $C(0; 2)$ и $D(-1; 0)$. Изобразив эти точки на координатной плоскости и соединив их, получим ромб.

Площадь ромба можно найти как половину произведения длин его диагоналей: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.

Найдем длины диагоналей $AC$ и $BD$ по формуле расстояния между двумя точками $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина диагонали $AC$ (между точками $A(0; -2)$ и $C(0; 2)$):

$d_1 = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$.

Длина диагонали $BD$ (между точками $B(1; 0)$ и $D(-1; 0)$):

$d_2 = BD = \sqrt{(-1-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь вычислим площадь ромба:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$.

Ответ: 4.