Страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Изобразите: а) три; б) четыре вектора. Определите их сумму.

Докажите, что операция сложения векторов не зависит от выбора точки, от которой откладываются векторы, т. е. для разных точек получаются равные векторы.

а) три вектора

Чтобы найти сумму трех произвольных векторов, например, $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, используется графический метод, называемый правилом многоугольника.
1. На плоскости выбирается произвольная начальная точка, назовем ее O.
2. От точки O откладывается вектор, равный вектору $\vec{a}$. Его конец обозначается точкой A. Таким образом, мы получаем вектор $\vec{OA} = \vec{a}$.
3. От конца первого вектора, то есть от точки A, откладывается вектор, равный вектору $\vec{b}$. Его конец обозначается точкой B, получая вектор $\vec{AB} = \vec{b}$.
4. От конца второго вектора, точки B, откладывается вектор, равный вектору $\vec{c}$. Его конец обозначается точкой C, получая вектор $\vec{BC} = \vec{c}$.
5. Суммой векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ является вектор, который соединяет начальную точку первого вектора (O) с конечной точкой последнего вектора (C). Этот результирующий вектор $\vec{s}$ равен $\vec{OC}$.
Математически это записывается так: $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{OC}$.

Ответ: Сумма трех векторов определяется по правилу многоугольника: векторы последовательно откладываются так, что начало каждого следующего вектора совпадает с концом предыдущего. Вектор суммы соединяет начало первого вектора с концом последнего.

б) четыре вектора

Сложение четырех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ выполняется по тому же правилу многоугольника.
1. Выбираем произвольную начальную точку O.
2. Последовательно откладываем векторы друг за другом:
- от точки O откладываем $\vec{OA} = \vec{a}$;
- от точки A откладываем $\vec{AB} = \vec{b}$;
- от точки B откладываем $\vec{BC} = \vec{c}$;
- от точки C откладываем $\vec{CD} = \vec{d}$.
3. Результирующий вектор (сумма) $\vec{s}$ — это вектор, идущий из начальной точки O в конечную точку D.
Таким образом, $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{OD}$.

Ответ: Сумма четырех векторов находится по правилу многоугольника. Результирующий вектор соединяет начало первого вектора с концом четвертого после их последовательного откладывания "цепочкой".

Докажите, что операция сложения векторов не зависит от выбора точки, от которой откладываются векторы, т. е. для разных точек получаются равные векторы.

Для доказательства рассмотрим сложение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Обобщение для любого количества векторов можно провести по методу математической индукции.
Пусть нам нужно найти сумму $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$.

1. Выполним сложение, выбрав в качестве начальной произвольную точку O.
Отложим от точки O вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{a}$, то есть $\vec{OA} = \vec{a}$. Затем от точки A отложим вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{b}$, то есть $\vec{AB} = \vec{b}$.
По правилу треугольника (частный случай правила многоугольника) вектор суммы $\vec{s_1}$ будет равен $\vec{OB}$.

2. Теперь выберем другую произвольную начальную точку O' и повторим построение.
Отложим от точки O' вектор $\vec{O'A'}$, равный вектору $\vec{a}$, то есть $\vec{O'A'} = \vec{a}$. Затем от точки A' отложим вектор $\vec{A'B'}$, равный вектору $\vec{b}$, то есть $\vec{A'B'} = \vec{b}$.
В этом случае вектор суммы $\vec{s_2}$ будет равен $\vec{O'B'}$.

3. Наша задача — доказать, что полученные векторы суммы равны, то есть $\vec{s_1} = \vec{s_2}$ или $\vec{OB} = \vec{O'B'}$.
Два вектора равны, если они сонаправлены (параллельны и направлены в одну сторону) и имеют одинаковую длину.

Рассмотрим четырехугольник OO'A'A. По построению $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{O'A'} = \vec{a}$. Так как векторы $\vec{OA}$ и $\vec{O'A'}$ равны, они параллельны и их длины равны. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, OO'A'A — параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что две другие его стороны также равны и параллельны, то есть $\vec{OO'} = \vec{AA'}$.

Аналогично рассмотрим четырехугольник AA'B'B. По построению $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{A'B'} = \vec{b}$. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A'B'}$ равны, а четырехугольник AA'B'B является параллелограммом. Отсюда следует, что $\vec{AA'} = \vec{BB'}$.

4. Мы получили два равенства: $\vec{OO'} = \vec{AA'}$ и $\vec{AA'} = \vec{BB'}$.
По свойству транзитивности отсюда следует, что $\vec{OO'} = \vec{BB'}$.
Это равенство означает, что отрезки OO' и BB' параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник OO'B'B также является параллелограммом.
В параллелограмме OO'B'B противоположные стороны OB и O'B' равны и параллельны. Это означает, что векторы $\vec{OB}$ и $\vec{O'B'}$ равны.
Таким образом, $\vec{s_1} = \vec{OB} = \vec{O'B'} = \vec{s_2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что результирующий вектор суммы не зависит от выбора начальной точки, так как при построении суммы векторов из разных начальных точек (O и O') итоговые векторы суммы ($\vec{OB}$ и $\vec{O'B'}$) являются противоположными сторонами параллелограмма OO'B'B и, следовательно, равны друг другу.

1. Как определяется операция сложения векторов?

2. Сформулируйте переместительный закон сложения векторов.

3. Сформулируйте сочетательный закон сложения векторов.

4. Как складываются три вектора?

1. Как определяется операция сложения векторов?

Операция сложения векторов определяется как нахождение нового вектора, называемого суммой или результирующим вектором, который является результатом объединения действия исходных векторов. Существует несколько эквивалентных способов определения этой операции.

Геометрические способы:

1. Правило треугольника. Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от конца первого вектора ($\vec{a}$) отложить второй вектор ($\vec{b}$). Тогда вектор суммы ($\vec{a} + \vec{b}$) будет начинаться в начальной точке вектора $\vec{a}$ и заканчиваться в конечной точке вектора $\vec{b}$. Если вектор $\vec{a}$ представлен как $\vec{AB}$, а вектор $\vec{b}$ как $\vec{BC}$, то их сумма — это вектор $\vec{AC}$, то есть $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

2. Правило параллелограмма. Чтобы сложить два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их нужно отложить от одной общей точки. Затем на этих векторах, как на сторонах, достраивается параллелограмм. Вектор суммы ($\vec{a} + \vec{b}$) будет являться диагональю этого параллелограмма, выходящей из общей начальной точки векторов. Если $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, и OACB — параллелограмм, то $\vec{a} + \vec{b} = \vec{OC}$.

Алгебраический способ:

3. Сложение по координатам. Если векторы заданы своими координатами в некоторой системе координат, то их сумма находится путем сложения соответствующих координат. Например, для векторов на плоскости $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$, их сумма равна $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$. В трехмерном пространстве для векторов $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ сумма будет $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$.

Ответ: Суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, начало которого совпадает с началом вектора $\vec{a}$, а конец — с концом вектора $\vec{b}$, при условии, что вектор $\vec{b}$ отложен от конца вектора $\vec{a}$ (правило треугольника). Альтернативно, это диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, выходящая из их общего начала. В координатной форме — это вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат исходных векторов.

2. Сформулируйте переместительный закон сложения векторов.

Переместительный (или коммутативный) закон сложения векторов гласит, что результат сложения двух векторов не зависит от порядка, в котором они складываются. Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

Этот закон легко доказывается геометрически с помощью правила параллелограмма. Если отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от общего начала O, получив векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, и достроить на них параллелограмм OACB, то его диагональ $\vec{OC}$ будет их суммой. С одной стороны, по правилу треугольника, $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}$. Так как $\vec{AC}$ равен вектору $\vec{OB} = \vec{b}$, то $\vec{OC} = \vec{a} + \vec{b}$. С другой стороны, $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{BC}$. Так как $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{OA} = \vec{a}$, то $\vec{OC} = \vec{b} + \vec{a}$. Таким образом, оба выражения равны одному и тому же вектору $\vec{OC}$.

Ответ: Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

3. Сформулируйте сочетательный закон сложения векторов.

Сочетательный (или ассоциативный) закон сложения векторов утверждает, что при сложении трех и более векторов результат не зависит от того, как они сгруппированы для последовательного сложения. Для любых трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливо равенство:

$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Геометрически этот закон можно продемонстрировать, построив векторную ломаную. Пусть из точки A отложен вектор $\vec{AB} = \vec{a}$, из точки B — вектор $\vec{BC} = \vec{b}$, а из точки C — вектор $\vec{CD} = \vec{c}$.

Рассмотрим левую часть равенства: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$. Сначала складываем $\vec{a}$ и $\vec{b}$, получая по правилу треугольника вектор $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$. Затем к нему прибавляем вектор $\vec{c}$: $\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

Теперь рассмотрим правую часть: $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$. Сначала складываем $\vec{b}$ и $\vec{c}$, получая вектор $\vec{BD} = \vec{b} + \vec{c}$. Затем к вектору $\vec{a}$ прибавляем полученный результат: $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$.

Поскольку в обоих случаях получается один и тот же замыкающий вектор $\vec{AD}$, закон доказан.

Ответ: Для любых трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ выполняется равенство $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

4. Как складываются три вектора?

Сложение трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ можно выполнить несколькими способами, которые приводят к одному и тому же результату благодаря сочетательному закону.

1. Правило многоугольника (правило цепи). Это обобщение правила треугольника. Чтобы сложить три вектора, их располагают последовательно: начало второго вектора совмещают с концом первого, а начало третьего — с концом второго. Суммой трех векторов $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ будет вектор, проведенный из начальной точки первого вектора ($\vec{a}$) в конечную точку последнего вектора ($\vec{c}$).

2. Правило параллелепипеда. Этот способ применяется для трех некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) векторов. Если векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ отложить от общего начала, а затем на них, как на ребрах, построить параллелепипед, то суммой этих векторов будет главная диагональ этого параллелепипеда, выходящая из их общего начала.

3. Координатный метод. Если векторы заданы своими координатами, например, в пространстве: $\vec{a} = (x_a, y_a, z_a)$, $\vec{b} = (x_b, y_b, z_b)$, $\vec{c} = (x_c, y_c, z_c)$, то их сумма — это вектор, каждая координата которого равна сумме соответствующих координат исходных векторов:$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (x_a + x_b + x_c, y_a + y_b + y_c, z_a + z_b + z_c)$.

Ответ: Три вектора складываются либо последовательно по правилу треугольника, либо с помощью правила многоугольника (вектор суммы замыкает ломаную, построенную из этих векторов), либо с помощью правила параллелепипеда (для некомпланарных векторов), либо путем сложения их соответствующих координат.

1. В треугольнике ABC укажите векторы:

а) $ \overline{AB} + \overline{BC} $;

б) $ \overline{CB} + \overline{BA} $;

в) $ \overline{CA} + \overline{AB} $;

г) $ \overline{BA} + \overline{CB} $.

Для решения этой задачи мы будем использовать правило треугольника (также известное как правило Шаля) для сложения векторов. Согласно этому правилу, сумма двух векторов, у которых конец первого совпадает с началом второго, равна вектору, идущему от начала первого к концу второго. Математически это выглядит так: $ \overline{PQ} + \overline{QR} = \overline{PR} $. Также следует помнить, что сложение векторов коммутативно, то есть $ \overline{a} + \overline{b} = \overline{b} + \overline{a} $.

а) Найдем сумму векторов $ \overline{AB} $ и $ \overline{BC} $. Вектор $ \overline{AB} $ идет из точки A в точку B. Вектор $ \overline{BC} $ идет из точки B в точку C. Конец первого вектора (точка B) совпадает с началом второго. Следовательно, по правилу треугольника, их сумма — это вектор, который начинается в точке A и заканчивается в точке C.
$ \overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC} $
Ответ: $ \overline{AC} $

б) Найдем сумму векторов $ \overline{CB} $ и $ \overline{BA} $. Вектор $ \overline{CB} $ начинается в C и заканчивается в B. Вектор $ \overline{BA} $ начинается в B и заканчивается в A. Конец первого вектора (B) совпадает с началом второго (B). По правилу треугольника, результирующий вектор начинается в начальной точке первого вектора (C) и заканчивается в конечной точке второго вектора (A).
$ \overline{CB} + \overline{BA} = \overline{CA} $
Ответ: $ \overline{CA} $

в) Найдем сумму векторов $ \overline{CA} $ и $ \overline{AB} $. Вектор $ \overline{CA} $ идет из точки C в точку A. Вектор $ \overline{AB} $ идет из точки A в точку B. Конец первого вектора (A) совпадает с началом второго (A). Таким образом, сумма векторов будет вектором, начинающимся в точке C и заканчивающимся в точке B.
$ \overline{CA} + \overline{AB} = \overline{CB} $
Ответ: $ \overline{CB} $

г) Найдем сумму векторов $ \overline{BA} $ и $ \overline{CB} $. Здесь конец первого вектора (A) не совпадает с началом второго (C). Однако, используя коммутативное свойство сложения векторов, мы можем поменять их местами: $ \overline{BA} + \overline{CB} = \overline{CB} + \overline{BA} $. Это выражение идентично тому, что было в пункте б).
Применяя правило треугольника к выражению $ \overline{CB} + \overline{BA} $, мы получаем вектор, который начинается в точке C и заканчивается в точке A.
$ \overline{BA} + \overline{CB} = \overline{CB} + \overline{BA} = \overline{CA} $
Ответ: $ \overline{CA} $

2. На рисунке 2.5 укажите векторы:

a) $\vec{a} + \vec{b}$;

б) $\vec{c} + \vec{d}$;

в) $\vec{b} + \vec{c}$;

г) $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$;

д) $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}$.

Рис. 2.5

а) Для нахождения суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используется правило сложения векторов. Из рисунка видно, что $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{BC}$. По правилу треугольника, сумма двух последовательно соединенных векторов — это вектор, который соединяет начало первого вектора (точка A) с концом второго вектора (точка C). Таким образом, получаем: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Ответ: $\vec{AC}$.

б) Аналогично найдем сумму векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$. Из рисунка имеем $\vec{c} = \vec{CD}$ и $\vec{d} = \vec{DE}$. Суммой этих векторов будет вектор, идущий от начальной точки первого вектора (C) к конечной точке второго вектора (E). Следовательно: $\vec{c} + \vec{d} = \vec{CD} + \vec{DE} = \vec{CE}$.
Ответ: $\vec{CE}$.

в) Найдем сумму векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Нам даны векторы $\vec{b} = \vec{BC}$ и $\vec{c} = \vec{CD}$. Применяя правило треугольника, получаем, что их сумма — это вектор, соединяющий точку B и точку D. Таким образом: $\vec{b} + \vec{c} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$.
Ответ: $\vec{BD}$.

г) Для нахождения суммы трех векторов $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ воспользуемся правилом многоугольника. Векторы $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{BC}$ и $\vec{c} = \vec{CD}$ образуют ломаную линию. Суммой (замыкающим вектором) будет вектор, проведенный из начальной точки первого вектора (A) в конечную точку последнего вектора (D). Также можно использовать результат из пункта а): $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.
Ответ: $\vec{AD}$.

д) Сумму четырех векторов $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}$ находим по правилу многоугольника. Мы складываем векторы $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{BC}$, $\vec{c} = \vec{CD}$ и $\vec{d} = \vec{DE}$. Результирующий вектор будет идти от начальной точки A к конечной точке E. Также можно использовать результат из пункта г): $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \vec{d} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{AE}$.
Ответ: $\vec{AE}$.

3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Верны ли равенства:

а) $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC};$

б) $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{BC};$

в) $\vec{OC} + \vec{OD} = \vec{AO} + \vec{BO};$

г) $\vec{AC} + \vec{BA} = \vec{CB};$

д) $\vec{OD} + \vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}?$

а) Для сложения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, имеющих общее начало в точке A, применяется правило параллелограмма. Согласно этому правилу, их сумма представляет собой вектор диагонали параллелограмма, исходящий из той же точки A. В параллелограмме ABCD таким вектором является $\vec{AC}$. Альтернативно, по свойству параллелограмма $\vec{AD} = \vec{BC}$. Тогда, используя правило треугольника: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Равенство справедливо.
Ответ: верно.

б) Для нахождения суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ используем правило треугольника (правило последовательного соединения векторов). Результатом является вектор, соединяющий начало первого вектора (точка A) и конец второго вектора (точка D). Таким образом, $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны по длине, поэтому векторы, их представляющие, равны: $\vec{AD} = \vec{BC}$. Следовательно, исходное равенство $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{BC}$ является верным, так как обе его части равны вектору $\vec{AD}$.
Ответ: верно.

в) По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения O делятся пополам. Это означает, что O — середина отрезков AC и BD. Для векторов это свойство означает, что вектор, идущий из вершины к центру (например, $\vec{AO}$), равен вектору, идущему из центра к противоположной вершине ($\vec{OC}$). Таким образом, имеют место равенства: $\vec{AO} = \vec{OC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD}$. Преобразуем правую часть исходного равенства $\vec{AO} + \vec{BO}$, используя установленные выше векторные равенства: $\vec{AO} + \vec{BO} = \vec{OC} + \vec{OD}$. Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного равенства.
Ответ: верно.

г) Чтобы сложить векторы в левой части $\vec{AC} + \vec{BA}$, поменяем их местами и применим правило треугольника: $\vec{BA} + \vec{AC}$. Суммой этих векторов является вектор, соединяющий начальную точку первого вектора (B) и конечную точку второго (C), то есть $\vec{BC}$. Таким образом, левая часть равенства равна $\vec{BC}$. Правая часть равенства — это вектор $\vec{CB}$. Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$ равны по модулю, но противоположны по направлению ($\vec{BC} = -\vec{CB}$). Равенство $\vec{BC} = \vec{CB}$ выполняется только если это нулевой вектор, что в общем случае для параллелограмма неверно.
Ответ: неверно.

д) Проанализируем обе части равенства. Левая часть: $\vec{OD} + \vec{OB}$. Векторы $\vec{OD}$ и $\vec{OB}$ начинаются в точке O и лежат на диагонали BD. Так как O — середина BD, эти векторы имеют равные длины и противоположные направления. Следовательно, они являются противоположными векторами: $\vec{OD} = -\vec{OB}$. Их сумма равна нулевому вектору: $\vec{OD} + \vec{OB} = -\vec{OB} + \vec{OB} = \vec{0}$. Правая часть: $\vec{OA} + \vec{OC}$. Аналогично, векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ лежат на диагонали AC, O — их общая начальная точка и середина отрезка AC. Поэтому $\vec{OC} = -\vec{OA}$. Их сумма также равна нулевому вектору: $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OA} + (-\vec{OA}) = \vec{0}$. Поскольку и левая, и правая части равенства равны $\vec{0}$, равенство верно.
Ответ: верно.