Номер 3, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Верны ли равенства:

а) $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC};$

б) $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{BC};$

в) $\vec{OC} + \vec{OD} = \vec{AO} + \vec{BO};$

г) $\vec{AC} + \vec{BA} = \vec{CB};$

д) $\vec{OD} + \vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}?$

а) Для сложения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, имеющих общее начало в точке A, применяется правило параллелограмма. Согласно этому правилу, их сумма представляет собой вектор диагонали параллелограмма, исходящий из той же точки A. В параллелограмме ABCD таким вектором является $\vec{AC}$. Альтернативно, по свойству параллелограмма $\vec{AD} = \vec{BC}$. Тогда, используя правило треугольника: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Равенство справедливо.
Ответ: верно.

б) Для нахождения суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ используем правило треугольника (правило последовательного соединения векторов). Результатом является вектор, соединяющий начало первого вектора (точка A) и конец второго вектора (точка D). Таким образом, $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны по длине, поэтому векторы, их представляющие, равны: $\vec{AD} = \vec{BC}$. Следовательно, исходное равенство $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{BC}$ является верным, так как обе его части равны вектору $\vec{AD}$.
Ответ: верно.

в) По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения O делятся пополам. Это означает, что O — середина отрезков AC и BD. Для векторов это свойство означает, что вектор, идущий из вершины к центру (например, $\vec{AO}$), равен вектору, идущему из центра к противоположной вершине ($\vec{OC}$). Таким образом, имеют место равенства: $\vec{AO} = \vec{OC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD}$. Преобразуем правую часть исходного равенства $\vec{AO} + \vec{BO}$, используя установленные выше векторные равенства: $\vec{AO} + \vec{BO} = \vec{OC} + \vec{OD}$. Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного равенства.
Ответ: верно.

г) Чтобы сложить векторы в левой части $\vec{AC} + \vec{BA}$, поменяем их местами и применим правило треугольника: $\vec{BA} + \vec{AC}$. Суммой этих векторов является вектор, соединяющий начальную точку первого вектора (B) и конечную точку второго (C), то есть $\vec{BC}$. Таким образом, левая часть равенства равна $\vec{BC}$. Правая часть равенства — это вектор $\vec{CB}$. Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$ равны по модулю, но противоположны по направлению ($\vec{BC} = -\vec{CB}$). Равенство $\vec{BC} = \vec{CB}$ выполняется только если это нулевой вектор, что в общем случае для параллелограмма неверно.
Ответ: неверно.

д) Проанализируем обе части равенства. Левая часть: $\vec{OD} + \vec{OB}$. Векторы $\vec{OD}$ и $\vec{OB}$ начинаются в точке O и лежат на диагонали BD. Так как O — середина BD, эти векторы имеют равные длины и противоположные направления. Следовательно, они являются противоположными векторами: $\vec{OD} = -\vec{OB}$. Их сумма равна нулевому вектору: $\vec{OD} + \vec{OB} = -\vec{OB} + \vec{OB} = \vec{0}$. Правая часть: $\vec{OA} + \vec{OC}$. Аналогично, векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ лежат на диагонали AC, O — их общая начальная точка и середина отрезка AC. Поэтому $\vec{OC} = -\vec{OA}$. Их сумма также равна нулевому вектору: $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OA} + (-\vec{OA}) = \vec{0}$. Поскольку и левая, и правая части равенства равны $\vec{0}$, равенство верно.
Ответ: верно.