Номер 8, страница 20 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В треугольнике ABC AC = 6, BC = 8, $\angle C = 90^\circ$. Найдите:

a) $ |\vec{AB}| + |\vec{BC}| $;

б) $ |\vec{AB} + \vec{BC}| $;

в) $ |\vec{CA}| + |\vec{CB}| $;

г) $ |\vec{CA} + \vec{CB}| $.

а) $|\vec{AB}| + |\vec{BC}|$
Это выражение представляет собой сумму длин (модулей) векторов. Модуль вектора $|\vec{BC}|$ равен длине катета $BC$, то есть 8. Модуль вектора $|\vec{AB}|$ равен длине гипотенузы $AB$. Так как треугольник $ABC$ является прямоугольным с катетами $AC = 6$ и $BC = 8$, мы можем найти длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$|\vec{AB}| = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Теперь вычислим сумму длин:
$|\vec{AB}| + |\vec{BC}| = 10 + 8 = 18$.
Ответ: 18.

б) $|\vec{AB} + \vec{BC}|$
Это выражение представляет собой модуль векторной суммы. Согласно правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$ (вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго).
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Следовательно, нам нужно найти модуль вектора $\vec{AC}$, который равен длине стороны $AC$.
$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = 6$.
Ответ: 6.

в) $|\vec{CA}| + |\vec{CB}|$
Это выражение представляет собой сумму длин (модулей) векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.
$|\vec{CA}|$ — это длина катета $AC$, которая равна 6.
$|\vec{CB}|$ — это длина катета $BC$, которая равна 8.
Следовательно, сумма длин равна:
$|\vec{CA}| + |\vec{CB}| = 6 + 8 = 14$.
Ответ: 14.

г) $|\vec{CA} + \vec{CB}|$
Это выражение представляет собой модуль векторной суммы. Векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ выходят из одной общей точки $C$. Для их сложения применяется правило параллелограмма. Суммой векторов будет вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.
Поскольку угол $\angle C = 90^\circ$, векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ перпендикулярны, и параллелограмм является прямоугольником со сторонами, равными длинам этих векторов.
Модуль суммы векторов равен длине диагонали этого прямоугольника. Найдем ее по теореме Пифагора:
$|\vec{CA} + \vec{CB}| = \sqrt{|\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: 10.