Номер 11, страница 20 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что

$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$.

По условию задачи, $ABCD$ — параллелограмм. Необходимо доказать векторное равенство $\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$.

Для доказательства преобразуем левую и правую части равенства по отдельности, выразив все векторы через два неколлинеарных вектора, например, через векторы сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, выходящих из вершины $A$.

Рассмотрим левую часть равенства: $\vec{AC} + \vec{BD}$.
Вектор $\vec{AC}$ является диагональю параллелограмма и по правилу параллелограмма равен сумме векторов смежных сторон:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Вектор второй диагонали $\vec{BD}$ можно выразить через те же векторы сторон. Из треугольника $ABD$ по правилу сложения векторов имеем $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$, откуда
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.
Теперь сложим векторные выражения для диагоналей:
$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AD} - \vec{AB}) = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{AB} = 2\vec{AD}$.

Рассмотрим правую часть равенства: $\vec{BC} + \vec{AD}$.
По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны по длине, следовательно, векторы, направленные вдоль этих сторон, равны:
$\vec{BC} = \vec{AD}$.
Подставим это выражение в правую часть исходного равенства:
$\vec{BC} + \vec{AD} = \vec{AD} + \vec{AD} = 2\vec{AD}$.

Таким образом, мы показали, что и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $2\vec{AD}$.
$2\vec{AD} = 2\vec{AD}$
Следовательно, равенство $\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.