Задания, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Случай коллинеарных векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ рассмотрите самостоятельно.

Докажите, что разность векторов не зависит от выбора точки, от которой откладываются векторы, т. е. для разных точек получаются равные векторы.

Случай коллинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ рассмотрите самостоятельно.

Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Это означает, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Алгебраически это можно выразить как $\vec{b} = k \vec{a}$, где $k$ — некоторое число (скаляр).

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$. Подставив выражение для $\vec{b}$, получим:

$\vec{c} = \vec{a} - k \vec{a} = (1 - k)\vec{a}$

Из этого выражения видно, что результирующий вектор $\vec{c}$ также коллинеарен исходным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Его модуль равен $|\vec{c}| = |1-k| \cdot |\vec{a}|$.

Рассмотрим два основных случая для геометрической интерпретации.

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. Это означает, что $k > 0$. Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Точки $O$, $A$, $B$ будут лежать на одной прямой. Разностью является вектор $\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b}$.- Если $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ (т.е. $0 < k < 1$), точка $B$ лежит между $O$ и $A$. Вектор $\vec{BA}$ направлен так же, как и $\vec{a}$, а его длина равна $|\vec{a}| - |\vec{b}|$.- Если $|\vec{a}| < |\vec{b}|$ (т.е. $k > 1$), точка $A$ лежит между $O$ и $B$. Вектор $\vec{BA}$ направлен противоположно вектору $\vec{a}$, а его длина равна $|\vec{b}| - |\vec{a}|$.- Если $\vec{a} = \vec{b}$ (т.е. $k = 1$), то точки $A$ и $B$ совпадают, и разность равна нулевому вектору $\vec{BA} = \vec{0}$.

2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. Это означает, что $k < 0$. Отложим от точки $O$ векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Точка $O$ будет лежать между точками $A$ и $B$. Разность $\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b}$ — это вектор, идущий от точки $B$ к точке $A$. Он будет сонаправлен с вектором $\vec{a}$, а его длина будет равна сумме длин исходных векторов: $|\vec{BA}| = |\vec{OA}| + |\vec{OB}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

Ответ: Разностью коллинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($\vec{b}=k\vec{a}$) является вектор $\vec{c}=(1-k)\vec{a}$, который коллинеарен исходным. Его модуль и направление зависят от значения коэффициента $k$.

Докажите, что разность векторов не зависит от выбора точки, от которой откладываются векторы, т. е. для разных точек получаются равные векторы.

Пусть даны два произвольных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Нам нужно доказать, что их разность, вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, не зависит от выбора начальной точки.

1. Выберем произвольную точку $O$ в пространстве и отложим от нее векторы, равные $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Пусть $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. По определению разности векторов (или по правилу треугольника для суммы $\vec{OB} + \vec{BA} = \vec{OA}$), разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является вектор $\vec{BA}$:$\vec{a} - \vec{b} = \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$.

2. Теперь выберем другую произвольную точку $O'$ в пространстве и проделаем ту же операцию. Отложим от $O'$ векторы, равные $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Пусть $\vec{O'A'} = \vec{a}$ и $\vec{O'B'} = \vec{b}$. Тогда разность, вычисленная от точки $O'$, будет равна:$\vec{a} - \vec{b} = \vec{O'A'} - \vec{O'B'} = \vec{B'A'}$.

3. Наша задача — доказать, что полученные векторы разности равны, то есть $\vec{BA} = \vec{B'A'}$.Рассмотрим равенства $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{O'A'} = \vec{a}$. Из них следует, что $\vec{OA} = \vec{O'A'}$. Два вектора равны, если они сонаправлены и их длины равны. Геометрически это означает, что четырехугольник $OAA'O'$ является параллелограммом (возможно, вырожденным, если точки лежат на одной прямой). Из свойства параллелограмма следует, что $\vec{OO'} = \vec{AA'}$.

4. Аналогично, из равенств $\vec{OB} = \vec{b}$ и $\vec{O'B'} = \vec{b}$ следует, что $\vec{OB} = \vec{O'B'}$. Это означает, что четырехугольник $OBB'O'$ также является параллелограммом, и, следовательно, $\vec{OO'} = \vec{BB'}$.

5. Из шагов 3 и 4 мы получили, что $\vec{AA'} = \vec{OO'}$ и $\vec{BB'} = \vec{OO'}$. Отсюда следует, что $\vec{AA'} = \vec{BB'}$.

6. Равенство векторов $\vec{AA'} = \vec{BB'}$ означает, что четырехугольник $ABB'A'$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны и параллельны, то есть соответствующие им векторы равны. В частности, $\vec{BA} = \vec{B'A'}$.

Таким образом, мы доказали, что вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ один и тот же, независимо от выбора начальной точки $O$ или $O'$.

Ответ: Утверждение доказано. Разность векторов является свободным вектором и не зависит от точки приложения.