Номер 1, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В треугольнике ABC точки D, E — середины сторон соответственно AC и BC. Выразите вектор $\overline{DE}$ через вектор $\overline{AB}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, точка $D$ является серединой стороны $AC$, а точка $E$ — серединой стороны $BC$. Нам необходимо выразить вектор $\vec{DE}$ через вектор $\vec{AB}$.

Для выражения вектора $\vec{DE}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника), представив его как путь из точки $D$ в точку $E$ через вершину $C$. Вектор $\vec{DE}$ можно записать как сумму векторов $\vec{DC}$ и $\vec{CE}$:

$\vec{DE} = \vec{DC} + \vec{CE}$

Поскольку точка $D$ — середина отрезка $AC$, вектор $\vec{DC}$ составляет половину вектора $\vec{AC}$. Важно учесть направление: вектор $\vec{DC}$ направлен от $D$ к $C$, так же как и вектор $\vec{AC}$ (если считать от $A$ к $C$ и затем брать половину до $D$ и разворачивать). Проще записать, что $\vec{AD} = \vec{DC}$, что неверно. Правильно будет: $\vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{CA}$. Тогда $\vec{DC} = -\vec{CD} = -\frac{1}{2}\vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Но для нашего пути D-C-E, вектор $\vec{DC}$ - это вектор от D к C. Лучше воспользуемся другим путем: D -> A -> B -> E. Это слишком сложно.

Давайте используем разность векторов с общим началом в вершине $C$. Вектор $\vec{DE}$ можно выразить как разность векторов $\vec{CE}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{DE} = \vec{CE} - \vec{CD}$

По определению, точка $E$ — середина стороны $BC$, следовательно, вектор, идущий из вершины $C$ в точку $E$, равен половине вектора, идущего из $C$ в $B$:

$\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{CB}$

Аналогично, так как $D$ — середина стороны $AC$, то:

$\vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{CA}$

Теперь подставим эти выражения в формулу для вектора $\vec{DE}$:

$\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{CB} - \frac{1}{2}\vec{CA}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\vec{DE} = \frac{1}{2}(\vec{CB} - \vec{CA})$

По правилу вычитания векторов, разность $\vec{CB} - \vec{CA}$ равна вектору $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\vec{C} + \vec{CB}) - (\vec{C} + \vec{CA}) = \vec{CB} - \vec{CA}$

Таким образом, мы получаем искомое выражение:

$\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Этот результат является векторной формулировкой теоремы о средней линии треугольника: отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$, он параллелен стороне $AB$ и его длина равна половине длины $AB$.

Ответ: $\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{AB}$