Номер 16, страница 21 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Выразите длину произведения вектора на число через длину данного вектора и данное число.

Пусть дан вектор $\vec{a}$ и действительное число (скаляр) $k$. Длина (или модуль) вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$. Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ является новый вектор, который мы обозначим как $k\vec{a}$. Задача состоит в том, чтобы выразить длину вектора $k\vec{a}$ (обозначается $|k\vec{a}|$) через длину вектора $\vec{a}$ и число $k$.

Длина вектора, полученного в результате умножения исходного вектора на число, равна произведению модуля этого числа на длину исходного вектора. Это свойство можно строго доказать, используя координаты вектора.

Рассмотрим вектор $\vec{a}$ в n-мерном пространстве с координатами $(x_1, x_2, \dots, x_n)$. Его длина вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$.

При умножении вектора $\vec{a}$ на число $k$ каждая его координата умножается на это число. Таким образом, новый вектор $k\vec{a}$ будет иметь координаты $(kx_1, kx_2, \dots, kx_n)$. Теперь найдем его длину: $|k\vec{a}| = \sqrt{(kx_1)^2 + (kx_2)^2 + \dots + (kx_n)^2}$.

Раскроем скобки под корнем и вынесем общий множитель $k^2$: $|k\vec{a}| = \sqrt{k^2x_1^2 + k^2x_2^2 + \dots + k^2x_n^2} = \sqrt{k^2(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2)}$.

Используя свойство квадратного корня ($\sqrt{AB} = \sqrt{A}\sqrt{B}$), мы можем разделить выражение на два множителя: $|k\vec{a}| = \sqrt{k^2} \cdot \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$.

Поскольку $\sqrt{k^2}$ по определению равно модулю числа $k$, то есть $|k|$, а выражение $\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$ есть не что иное, как длина исходного вектора $|\vec{a}|$, мы приходим к итоговой формуле.

Ответ: Длина произведения вектора $\vec{a}$ на число $k$ выражается формулой $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$, где $|k|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $k$, а $|\vec{a}|$ — это длина (модуль) вектора $\vec{a}$.