Номер 13, страница 20 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$. При каком расположении векторов достигается равенство?

Доказательство неравенства $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Данное неравенство известно как неравенство треугольника для векторов. Докажем его алгебраически. Поскольку обе части неравенства по определению модуля неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.

Левая часть в квадрате: $|\vec{a} + \vec{b}|^2$.
Правая часть в квадрате: $(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$.

Рассмотрим квадрат модуля суммы векторов. Квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора, то есть его скалярному произведению на самого себя:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

Используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность), раскроем скобки:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ и $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$, выражение принимает вид:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

По определению скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Подставим это в наше выражение:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta + |\vec{b}|^2$

Теперь рассмотрим правую часть исходного неравенства, возведенную в квадрат:

$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Сравним два полученных выражения. Мы знаем, что для любого угла $\theta$ значение косинуса находится в пределах $-1 \le \cos\theta \le 1$. Следовательно, $\cos\theta \le 1$. Умножая обе части этого неравенства на неотрицательную величину $2|\vec{a}||\vec{b}|$, получаем:

$2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \le 2|\vec{a}||\vec{b}|$

Прибавив к обеим частям $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$, получаем:

$|\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta + |\vec{b}|^2 \le |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Это означает, что $|\vec{a} + \vec{b}|^2 \le (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$.

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны, мы можем извлечь из них квадратный корень, сохранив знак неравенства:

$\sqrt{|\vec{a} + \vec{b}|^2} \le \sqrt{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2}$

$|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Неравенство доказано.

При каком расположении векторов достигается равенство?

Равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ достигается тогда и только тогда, когда равенство достигается и для квадратов этих величин:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Исходя из шагов доказательства, это эквивалентно следующему равенству:

$|\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Вычитая из обеих частей одинаковые слагаемые, получаем:

$2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 2|\vec{a}||\vec{b}|$

Данное равенство выполняется в следующих случаях:

1. Если хотя бы один из векторов является нулевым (например, $\vec{a} = \vec{0}$). В этом случае его модуль равен нулю ($|\vec{a}|=0$), и равенство $0 = 0$ очевидно выполняется.

2. Если оба вектора ненулевые ($|\vec{a}| \ne 0$ и $|\vec{b}| \ne 0$). В этом случае мы можем разделить обе части на $2|\vec{a}||\vec{b}|$, получив:

$\cos\theta = 1$

Равенство $\cos\theta = 1$ истинно, когда угол $\theta$ между векторами равен $0^\circ$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и направлены в одну и ту же сторону, то есть являются сонаправленными.

Оба случая можно объединить в одно условие.

Ответ: Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (включая случай, когда один или оба вектора являются нулевыми).