Номер 6, страница 20 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. A, B, C, D — произвольные точки плоскости. Выразите через векторы $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{BC}$, $\vec{c} = \vec{CD}$ векторы:

a) $\vec{AD}$;

б) $\vec{BD}$;

в) $\vec{AC}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать правило сложения векторов (правило многоугольника или правило Шаля), которое гласит, что для любых точек $P_1, P_2, \dots, P_n$ вектор $ \overline{P_1P_n} $ равен сумме векторов $ \overline{P_1P_2} + \overline{P_2P_3} + \dots + \overline{P_{n-1}P_n} $.

а) Чтобы выразить вектор $ \overline{AD} $, мы можем представить его как сумму векторов, образующих ломаную линию от точки A до точки D через точки B и C.
Согласно правилу сложения векторов:
$ \overline{AD} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} $
Теперь подставим данные из условия: $ \vec{a} = \overline{AB} $, $ \vec{b} = \overline{BC} $ и $ \vec{c} = \overline{CD} $.
$ \overline{AD} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} $
Ответ: $ \overline{AD} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} $.

б) Чтобы выразить вектор $ \overline{BD} $, мы представляем его как сумму векторов, идущих из точки B в точку D через точку C.
По правилу треугольника для сложения векторов:
$ \overline{BD} = \overline{BC} + \overline{CD} $
Подставляем известные значения векторов $ \vec{b} = \overline{BC} $ и $ \vec{c} = \overline{CD} $.
$ \overline{BD} = \vec{b} + \vec{c} $
Ответ: $ \overline{BD} = \vec{b} + \vec{c} $.

в) Чтобы выразить вектор $ \overline{AC} $, мы представляем его как сумму векторов от точки A до точки C через точку B.
Используя правило треугольника:
$ \overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC} $
Подставляем данные из условия задачи: $ \vec{a} = \overline{AB} $ и $ \vec{b} = \overline{BC} $.
$ \overline{AC} = \vec{a} + \vec{b} $
Ответ: $ \overline{AC} = \vec{a} + \vec{b} $.