Номер 1, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В треугольнике ABC укажите векторы:

а) $ \overline{AB} + \overline{BC} $;

б) $ \overline{CB} + \overline{BA} $;

в) $ \overline{CA} + \overline{AB} $;

г) $ \overline{BA} + \overline{CB} $.

Для решения этой задачи мы будем использовать правило треугольника (также известное как правило Шаля) для сложения векторов. Согласно этому правилу, сумма двух векторов, у которых конец первого совпадает с началом второго, равна вектору, идущему от начала первого к концу второго. Математически это выглядит так: $ \overline{PQ} + \overline{QR} = \overline{PR} $. Также следует помнить, что сложение векторов коммутативно, то есть $ \overline{a} + \overline{b} = \overline{b} + \overline{a} $.

а) Найдем сумму векторов $ \overline{AB} $ и $ \overline{BC} $. Вектор $ \overline{AB} $ идет из точки A в точку B. Вектор $ \overline{BC} $ идет из точки B в точку C. Конец первого вектора (точка B) совпадает с началом второго. Следовательно, по правилу треугольника, их сумма — это вектор, который начинается в точке A и заканчивается в точке C.
$ \overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC} $
Ответ: $ \overline{AC} $

б) Найдем сумму векторов $ \overline{CB} $ и $ \overline{BA} $. Вектор $ \overline{CB} $ начинается в C и заканчивается в B. Вектор $ \overline{BA} $ начинается в B и заканчивается в A. Конец первого вектора (B) совпадает с началом второго (B). По правилу треугольника, результирующий вектор начинается в начальной точке первого вектора (C) и заканчивается в конечной точке второго вектора (A).
$ \overline{CB} + \overline{BA} = \overline{CA} $
Ответ: $ \overline{CA} $

в) Найдем сумму векторов $ \overline{CA} $ и $ \overline{AB} $. Вектор $ \overline{CA} $ идет из точки C в точку A. Вектор $ \overline{AB} $ идет из точки A в точку B. Конец первого вектора (A) совпадает с началом второго (A). Таким образом, сумма векторов будет вектором, начинающимся в точке C и заканчивающимся в точке B.
$ \overline{CA} + \overline{AB} = \overline{CB} $
Ответ: $ \overline{CB} $

г) Найдем сумму векторов $ \overline{BA} $ и $ \overline{CB} $. Здесь конец первого вектора (A) не совпадает с началом второго (C). Однако, используя коммутативное свойство сложения векторов, мы можем поменять их местами: $ \overline{BA} + \overline{CB} = \overline{CB} + \overline{BA} $. Это выражение идентично тому, что было в пункте б).
Применяя правило треугольника к выражению $ \overline{CB} + \overline{BA} $, мы получаем вектор, который начинается в точке C и заканчивается в точке A.
$ \overline{BA} + \overline{CB} = \overline{CB} + \overline{BA} = \overline{CA} $
Ответ: $ \overline{CA} $