Номер 13, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что если $\vec{AB} = \vec{CD}$, то $\vec{AC} = \vec{BD}$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся правилами действий над векторами. Утверждение можно доказать несколькими способами.

Способ 1: Геометрический (с использованием правила сложения векторов)

По условию задачи нам дано равенство векторов: $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Рассмотрим вектор $\vec{AC}$. По правилу треугольника (также известному как правило Шаля) для сложения векторов, мы можем представить вектор $\vec{AC}$ как сумму двух векторов, «пройдя» из точки A в точку C через точку B:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Теперь воспользуемся данным нам в условии равенством $\vec{AB} = \vec{CD}$ и подставим вектор $\vec{CD}$ вместо вектора $\vec{AB}$ в полученное выражение:

$\vec{AC} = \vec{CD} + \vec{BC}$

Сложение векторов коммутативно, то есть от перемены мест слагаемых-векторов их сумма не изменяется. Поменяем местами векторы в правой части равенства:

$\vec{AC} = \vec{BC} + \vec{CD}$

Снова применим правило треугольника. Сумма векторов $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$ — это вектор, который начинается в начальной точке первого вектора (точка B) и заканчивается в конечной точке второго вектора (точка D). Таким образом, мы получаем:

$\vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$

Следовательно, мы можем записать итоговое равенство:

$\vec{AC} = \vec{BD}$

Что и требовалось доказать.

Способ 2: Алгебраический (с использованием радиус-векторов)

Пусть точки A, B, C и D заданы своими радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ соответственно (векторами, проведенными из начала координат в эти точки).

Вектор, проведенный из одной точки в другую, можно выразить как разность радиус-векторов его конца и начала. Например, $\vec{XY} = \vec{y} - \vec{x}$.

Перепишем исходное равенство $\vec{AB} = \vec{CD}$ с использованием радиус-векторов:

$\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$

Нам необходимо доказать, что $\vec{AC} = \vec{BD}$. Запишем это равенство в терминах радиус-векторов:

$\vec{c} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{b}$

Чтобы доказать это, преобразуем исходное равенство $\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$. Наша цель — получить на одной стороне выражение $\vec{c} - \vec{a}$, а на другой — $\vec{d} - \vec{b}$. Для этого добавим к обеим частям исходного равенства вектор $\vec{c}$:

$\vec{b} - \vec{a} + \vec{c} = \vec{d} - \vec{c} + \vec{c}$

$\vec{b} + \vec{c} - \vec{a} = \vec{d}$

Теперь вычтем из обеих частей вектор $\vec{b}$:

$\vec{c} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{b}$

Полученное равенство в точности соответствует выражению $\vec{AC} = \vec{BD}$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.