Номер 8, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 4 \text{ см}$, $BC = 3 \text{ см}$. Найдите длины

векторов:

а) $\vec{AB}$

б) $\vec{BC}$

в) $\vec{DC}$

г) $\vec{AC}$

д) $\vec{DB}$

В задаче дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 4$ см и $BC = 3$ см. Длина вектора (также называемая модулем вектора) — это длина отрезка, который этот вектор представляет.

а) $\vec{AB}$
Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине стороны $AB$. Согласно условию задачи, длина стороны $AB$ составляет 4 см.
Следовательно, $|\vec{AB}| = AB = 4$ см.
Ответ: 4 см.

б) $\vec{BC}$
Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине стороны $BC$. Согласно условию задачи, длина стороны $BC$ составляет 3 см.
Следовательно, $|\vec{BC}| = BC = 3$ см.
Ответ: 3 см.

в) $\vec{DC}$
В прямоугольнике противолежащие стороны равны. Поэтому сторона $DC$ равна стороне $AB$. Так как $AB = 4$ см, то и $DC = 4$ см. Длина вектора $\vec{DC}$ равна длине отрезка $DC$.
Следовательно, $|\vec{DC}| = DC = 4$ см.
Ответ: 4 см.

г) $\vec{AC}$
Вектор $\vec{AC}$ представляет собой диагональ прямоугольника. Мы можем найти ее длину, рассмотрев прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle B = 90^\circ$. Катеты этого треугольника — $AB$ и $BC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ($AC$) равен сумме квадратов катетов ($AB$ и $BC$):
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
Подставим известные значения:
$AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$AC = \sqrt{25} = 5$ см.
Таким образом, длина вектора $\vec{AC}$ равна 5 см.
Ответ: 5 см.

д) $\vec{DB}$
Вектор $\vec{DB}$ представляет собой вторую диагональ прямоугольника. В прямоугольнике диагонали равны по длине, поэтому $DB = AC$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $AC = 5$ см.
Следовательно, $|\vec{DB}| = DB = 5$ см.
Также можно найти длину $DB$ с помощью теоремы Пифагора для треугольника $DAB$ ($\angle A = 90^\circ$), где $AD=BC=3$ см и $AB=4$ см:
$DB^2 = DA^2 + AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$DB = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: 5 см.