Номер 14, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Докажите, что если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся векторным методом. Пусть $A, B, C, D$ — это точки в пространстве. Выберем произвольную точку $O$ в качестве начала координат. Тогда положение каждой из точек $A, B, C, D$ можно описать соответствующим радиус-вектором: $\vec{r}_A, \vec{r}_B, \vec{r}_C, \vec{r}_D$.

Вектор $\vec{AB}$ можно представить как разность радиус-векторов его конца и начала: $\vec{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$. Аналогично, вектор $\vec{CD}$ можно представить как $\vec{CD} = \vec{r}_D - \vec{r}_C$.

По условию задачи, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны:

$\vec{AB} = \vec{CD}$

Подставляя векторные выражения, получаем:

$\vec{r}_B - \vec{r}_A = \vec{r}_D - \vec{r}_C$

Перегруппируем члены этого равенства так, чтобы векторы, относящиеся к точкам отрезка $AD$, оказались в одной части уравнения, а векторы, относящиеся к отрезку $BC$, — в другой. Для этого прибавим к обеим частям $\vec{r}_A$ и $\vec{r}_C$:

$\vec{r}_B + \vec{r}_C = \vec{r}_A + \vec{r}_D$

Теперь найдем радиус-векторы середин отрезков $AD$ и $BC$. Пусть $M$ — середина отрезка $AD$. Ее радиус-вектор $\vec{r}_M$ равен полусумме радиус-векторов точек $A$ и $D$:

$\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2}$

Пусть $N$ — середина отрезка $BC$. Ее радиус-вектор $\vec{r}_N$ равен полусумме радиус-векторов точек $B$ и $C$:

$\vec{r}_N = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$

Вернемся к полученному нами равенству $\vec{r}_B + \vec{r}_C = \vec{r}_A + \vec{r}_D$. Разделим обе его части на 2:

$\frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2} = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2}$

Слева в этом равенстве стоит выражение для радиус-вектора $\vec{r}_N$, а справа — для радиус-вектора $\vec{r}_M$. Таким образом, мы доказали, что:

$\vec{r}_N = \vec{r}_M$

Поскольку радиус-векторы точек $M$ и $N$ равны, эти точки совпадают в пространстве. Это означает, что середина отрезка $BC$ совпадает с серединой отрезка $AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия равенства векторов $\vec{AB} = \vec{CD}$ следует равенство их представлений через радиус-векторы: $\vec{r}_B - \vec{r}_A = \vec{r}_D - \vec{r}_C$. Это равенство алгебраически преобразуется к виду $\vec{r}_A + \vec{r}_D = \vec{r}_B + \vec{r}_C$. Разделив обе части на 2, получаем $\frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$. Левая часть этого равенства является радиус-вектором середины отрезка $AD$, а правая — радиус-вектором середины отрезка $BC$. Равенство радиус-векторов означает совпадение самих точек.