Страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 4 \text{ см}$, $BC = 3 \text{ см}$. Найдите длины

векторов:

а) $\vec{AB}$

б) $\vec{BC}$

в) $\vec{DC}$

г) $\vec{AC}$

д) $\vec{DB}$

В задаче дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 4$ см и $BC = 3$ см. Длина вектора (также называемая модулем вектора) — это длина отрезка, который этот вектор представляет.

а) $\vec{AB}$
Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине стороны $AB$. Согласно условию задачи, длина стороны $AB$ составляет 4 см.
Следовательно, $|\vec{AB}| = AB = 4$ см.
Ответ: 4 см.

б) $\vec{BC}$
Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине стороны $BC$. Согласно условию задачи, длина стороны $BC$ составляет 3 см.
Следовательно, $|\vec{BC}| = BC = 3$ см.
Ответ: 3 см.

в) $\vec{DC}$
В прямоугольнике противолежащие стороны равны. Поэтому сторона $DC$ равна стороне $AB$. Так как $AB = 4$ см, то и $DC = 4$ см. Длина вектора $\vec{DC}$ равна длине отрезка $DC$.
Следовательно, $|\vec{DC}| = DC = 4$ см.
Ответ: 4 см.

г) $\vec{AC}$
Вектор $\vec{AC}$ представляет собой диагональ прямоугольника. Мы можем найти ее длину, рассмотрев прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle B = 90^\circ$. Катеты этого треугольника — $AB$ и $BC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ($AC$) равен сумме квадратов катетов ($AB$ и $BC$):
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
Подставим известные значения:
$AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$AC = \sqrt{25} = 5$ см.
Таким образом, длина вектора $\vec{AC}$ равна 5 см.
Ответ: 5 см.

д) $\vec{DB}$
Вектор $\vec{DB}$ представляет собой вторую диагональ прямоугольника. В прямоугольнике диагонали равны по длине, поэтому $DB = AC$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $AC = 5$ см.
Следовательно, $|\vec{DB}| = DB = 5$ см.
Также можно найти длину $DB$ с помощью теоремы Пифагора для треугольника $DAB$ ($\angle A = 90^\circ$), где $AD=BC=3$ см и $AB=4$ см:
$DB^2 = DA^2 + AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$DB = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

9. Диагонали $AC$ и $BD$ ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и равны соответственно $6 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$. Найдите длину вектора:

a) $\overline{BC}$;

б) $\overline{AO}$;

в) $\overline{BO}$.

По условию, $ABCD$ — ромб, диагонали которого $AC = 6$ см и $BD = 8$ см пересекаются в точке $O$. Длина вектора равна длине отрезка, который он представляет. То есть, найти длину вектора $\overline{XY}$ — это то же самое, что найти длину отрезка $XY$.

Воспользуемся свойствами ромба:
1. Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
2. Диагонали взаимно перпендикулярны.

Из этих свойств следует, что $\triangle BOC$ является прямоугольным треугольником, где $\angle BOC = 90^\circ$.

а) $\overline{BC}$

Длина вектора $\overline{BC}$ равна длине стороны ромба $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BOC$. Его катеты $BO$ и $CO$ являются половинами диагоналей.

Найдем длины катетов:
$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
$CO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $BC$:
$BC^2 = BO^2 + CO^2$
$BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$BC = \sqrt{25} = 5$ см.

Следовательно, длина вектора $\overline{BC}$ равна 5 см.
Ответ: 5 см.

б) $\overline{AO}$

Длина вектора $\overline{AO}$ равна длине отрезка $AO$. Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, отрезок $AO$ равен половине диагонали $AC$.

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Следовательно, длина вектора $\overline{AO}$ равна 3 см.
Ответ: 3 см.

в) $\overline{BO}$

Длина вектора $\overline{BO}$ равна длине отрезка $BO$. Отрезок $BO$ равен половине диагонали $BD$.

$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Следовательно, длина вектора $\overline{BO}$ равна 4 см.
Ответ: 4 см.

10. Стороны треугольника $ABC$ равны 1, $O$ — точка пересечения медиан $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Найдите длину вектора:

а) $\overline{AA_1}$;

б) $\overline{AO}$;

в) $\overline{OA_1}$.

Поскольку все стороны треугольника $ABC$ равны 1, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике медианы ($AA_1, BB_1, CC_1$) также являются высотами и биссектрисами. Точка пересечения медиан $O$ (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

а) Длина вектора $\overline{AA_1}$ равна длине отрезка $AA_1$. Так как $AA_1$ является медианой, проведённой к стороне $BC$, точка $A_1$ — середина $BC$. Следовательно, $BA_1 = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}$.
Поскольку в равностороннем треугольнике медиана является и высотой, треугольник $ABA_1$ — прямоугольный с прямым углом $\angle AA_1B$.
Применим теорему Пифагора к треугольнику $ABA_1$:
$AB^2 = AA_1^2 + BA_1^2$
$AA_1^2 = AB^2 - BA_1^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$AA_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, длина вектора $|\overline{AA_1}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Точка пересечения медиан $O$ делит медиану $AA_1$ в отношении $AO : OA_1 = 2:1$. Это означает, что отрезок $AO$ составляет $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$ от всей длины медианы $AA_1$.
Длина вектора $\overline{AO}$ равна длине отрезка $AO$:
$|\overline{AO}| = AO = \frac{2}{3} AA_1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Аналогично пункту б), отрезок $OA_1$ составляет $\frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$ от всей длины медианы $AA_1$.
Длина вектора $\overline{OA_1}$ равна длине отрезка $OA_1$:
$|\overline{OA_1}| = OA_1 = \frac{1}{3} AA_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

11. Основание $AB$ трапеции $ABCD$ равно 12 см, угол $A$ прямой, $AD = 5$ см, $\angle B = 45^\circ$. Найдите длины векторов:

а) $\overline{BD}$;

б) $\overline{BC}$;

в) $\overline{AC}$.

а)

Длина вектора $\vec{BD}$ равна длине отрезка $BD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию, угол $A$ в трапеции прямой, следовательно, треугольник $ABD$ является прямоугольным с катетами $AD$ и $AB$. Гипотенузой в этом треугольнике является сторона $BD$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$BD^2 = AD^2 + AB^2$

Подставим известные значения из условия: $AD = 5$ см и $AB = 12$ см.

$BD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

Чтобы найти длину $BD$, извлечем квадратный корень:

$BD = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

б)

Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине отрезка $BC$. Для ее нахождения проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AB$.

Так как $ABCD$ — трапеция с основаниями $AB$ и $DC$, то $DC \parallel AB$. Поскольку $AD \perp AB$ и $CH \perp AB$, то $AD \parallel CH$. Таким образом, четырехугольник $ADCH$ является прямоугольником. Из этого следует, что $CH = AD = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$ (угол $H = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известен катет $CH = 5$ см и угол $\angle B = 45^\circ$.

Мы можем найти гипотенузу $BC$ через синус угла $B$:

$\sin(\angle B) = \frac{CH}{BC}$

Подставляем известные значения:

$\sin(45^\circ) = \frac{5}{BC}$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем уравнение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{BC}$

Выражаем $BC$:

$BC = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

в)

Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине отрезка $AC$. Для ее нахождения воспользуемся прямоугольным треугольником $ACH$, который образовался после проведения высоты $CH$ в пункте б).

В треугольнике $ACH$ (угол $H = 90^\circ$) сторона $AC$ является гипотенузой. Чтобы применить теорему Пифагора, нам нужно знать длины катетов $AH$ и $CH$. Длина $CH$ нам известна: $CH = 5$ см.

Найдем длину катета $AH$. Для этого вернемся к треугольнику $CHB$. Так как он прямоугольный и один из его острых углов $\angle B = 45^\circ$, то и второй острый угол $\angle BCH$ также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $CHB$ — равнобедренный, и его катеты равны: $HB = CH = 5$ см.

Основание $AB$ состоит из двух отрезков: $AB = AH + HB$.

Подставим известные значения $AB = 12$ см и $HB = 5$ см:

$12 = AH + 5$

Отсюда находим $AH = 12 - 5 = 7$ см.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора для треугольника $ACH$:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$AC^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74$

Извлекаем квадратный корень:

$AC = \sqrt{74}$ см.

Ответ: $\sqrt{74}$ см.

12. Определите вид четырехугольника ABCD, если:

а) $\vec{AB} = \vec{DC}$;

б) $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\left|\vec{AB}\right| = \left|\vec{BC}\right|$.

а)

Условие $\overline{AB} = \overline{DC}$ означает, что векторы $\overline{AB}$ и $\overline{DC}$ равны. Равенство векторов подразумевает, что они имеют одинаковое направление (сонаправлены) и равные длины (модули).

Из того, что векторы $\overline{AB}$ и $\overline{DC}$ сонаправлены, следует, что прямые, содержащие отрезки $AB$ и $DC$, параллельны, то есть $AB \parallel DC$.

Из того, что длины векторов равны, следует, что $|\overline{AB}| = |\overline{DC}|$, то есть длины отрезков $AB$ и $DC$ равны, $AB = DC$.

В четырехугольнике $ABCD$ две противолежащие стороны ($AB$ и $DC$) параллельны и равны. По признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: параллелограмм.

б)

В этом пункте даны два условия: $\overline{AB} = \overline{DC}$ и $|\overline{AB}| = |\overline{BC}|$.

Из первого условия $\overline{AB} = \overline{DC}$, как было доказано в пункте а), следует, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Второе условие $|\overline{AB}| = |\overline{BC}|$ означает, что длины сторон $AB$ и $BC$ равны. Эти стороны в параллелограмме $ABCD$ являются смежными.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Действительно, в параллелограмме противолежащие стороны равны, то есть $AB = DC$ и $BC = AD$. Если к этому добавить условие $AB = BC$, то получим, что все стороны равны: $AB = BC = DC = AD$. Четырехугольник с равными сторонами — это ромб.

Ответ: ромб.

13. Докажите, что если $\vec{AB} = \vec{CD}$, то $\vec{AC} = \vec{BD}$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся правилами действий над векторами. Утверждение можно доказать несколькими способами.

Способ 1: Геометрический (с использованием правила сложения векторов)

По условию задачи нам дано равенство векторов: $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Рассмотрим вектор $\vec{AC}$. По правилу треугольника (также известному как правило Шаля) для сложения векторов, мы можем представить вектор $\vec{AC}$ как сумму двух векторов, «пройдя» из точки A в точку C через точку B:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Теперь воспользуемся данным нам в условии равенством $\vec{AB} = \vec{CD}$ и подставим вектор $\vec{CD}$ вместо вектора $\vec{AB}$ в полученное выражение:

$\vec{AC} = \vec{CD} + \vec{BC}$

Сложение векторов коммутативно, то есть от перемены мест слагаемых-векторов их сумма не изменяется. Поменяем местами векторы в правой части равенства:

$\vec{AC} = \vec{BC} + \vec{CD}$

Снова применим правило треугольника. Сумма векторов $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$ — это вектор, который начинается в начальной точке первого вектора (точка B) и заканчивается в конечной точке второго вектора (точка D). Таким образом, мы получаем:

$\vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$

Следовательно, мы можем записать итоговое равенство:

$\vec{AC} = \vec{BD}$

Что и требовалось доказать.

Способ 2: Алгебраический (с использованием радиус-векторов)

Пусть точки A, B, C и D заданы своими радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ соответственно (векторами, проведенными из начала координат в эти точки).

Вектор, проведенный из одной точки в другую, можно выразить как разность радиус-векторов его конца и начала. Например, $\vec{XY} = \vec{y} - \vec{x}$.

Перепишем исходное равенство $\vec{AB} = \vec{CD}$ с использованием радиус-векторов:

$\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$

Нам необходимо доказать, что $\vec{AC} = \vec{BD}$. Запишем это равенство в терминах радиус-векторов:

$\vec{c} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{b}$

Чтобы доказать это, преобразуем исходное равенство $\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$. Наша цель — получить на одной стороне выражение $\vec{c} - \vec{a}$, а на другой — $\vec{d} - \vec{b}$. Для этого добавим к обеим частям исходного равенства вектор $\vec{c}$:

$\vec{b} - \vec{a} + \vec{c} = \vec{d} - \vec{c} + \vec{c}$

$\vec{b} + \vec{c} - \vec{a} = \vec{d}$

Теперь вычтем из обеих частей вектор $\vec{b}$:

$\vec{c} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{b}$

Полученное равенство в точности соответствует выражению $\vec{AC} = \vec{BD}$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

14. Докажите, что если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся векторным методом. Пусть $A, B, C, D$ — это точки в пространстве. Выберем произвольную точку $O$ в качестве начала координат. Тогда положение каждой из точек $A, B, C, D$ можно описать соответствующим радиус-вектором: $\vec{r}_A, \vec{r}_B, \vec{r}_C, \vec{r}_D$.

Вектор $\vec{AB}$ можно представить как разность радиус-векторов его конца и начала: $\vec{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$. Аналогично, вектор $\vec{CD}$ можно представить как $\vec{CD} = \vec{r}_D - \vec{r}_C$.

По условию задачи, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны:

$\vec{AB} = \vec{CD}$

Подставляя векторные выражения, получаем:

$\vec{r}_B - \vec{r}_A = \vec{r}_D - \vec{r}_C$

Перегруппируем члены этого равенства так, чтобы векторы, относящиеся к точкам отрезка $AD$, оказались в одной части уравнения, а векторы, относящиеся к отрезку $BC$, — в другой. Для этого прибавим к обеим частям $\vec{r}_A$ и $\vec{r}_C$:

$\vec{r}_B + \vec{r}_C = \vec{r}_A + \vec{r}_D$

Теперь найдем радиус-векторы середин отрезков $AD$ и $BC$. Пусть $M$ — середина отрезка $AD$. Ее радиус-вектор $\vec{r}_M$ равен полусумме радиус-векторов точек $A$ и $D$:

$\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2}$

Пусть $N$ — середина отрезка $BC$. Ее радиус-вектор $\vec{r}_N$ равен полусумме радиус-векторов точек $B$ и $C$:

$\vec{r}_N = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$

Вернемся к полученному нами равенству $\vec{r}_B + \vec{r}_C = \vec{r}_A + \vec{r}_D$. Разделим обе его части на 2:

$\frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2} = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2}$

Слева в этом равенстве стоит выражение для радиус-вектора $\vec{r}_N$, а справа — для радиус-вектора $\vec{r}_M$. Таким образом, мы доказали, что:

$\vec{r}_N = \vec{r}_M$

Поскольку радиус-векторы точек $M$ и $N$ равны, эти точки совпадают в пространстве. Это означает, что середина отрезка $BC$ совпадает с серединой отрезка $AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия равенства векторов $\vec{AB} = \vec{CD}$ следует равенство их представлений через радиус-векторы: $\vec{r}_B - \vec{r}_A = \vec{r}_D - \vec{r}_C$. Это равенство алгебраически преобразуется к виду $\vec{r}_A + \vec{r}_D = \vec{r}_B + \vec{r}_C$. Разделив обе части на 2, получаем $\frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$. Левая часть этого равенства является радиус-вектором середины отрезка $AD$, а правая — радиус-вектором середины отрезка $BC$. Равенство радиус-векторов означает совпадение самих точек.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

15. Предложите способ сложения двух: а) одинаково направленных; б) противоположно направленных векторов.

а) одинаково направленных:

Чтобы сложить два одинаково направленных (сонаправленных) вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно найти их сумму, вектор $\vec{c}$. Для этого можно использовать правило, вытекающее из правила треугольника для коллинеарных векторов. Результирующий вектор $\vec{c}$ будет иметь следующие характеристики:

1. Направление: Вектор $\vec{c}$ будет направлен в ту же сторону, что и исходные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. То есть, $\vec{c} \uparrow\uparrow \vec{a}$ и $\vec{c} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

2. Длина (модуль): Длина вектора $\vec{c}$ будет равна сумме длин векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Математически это записывается как $|\vec{c}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

Геометрически это означает, что если отложить вектор $\vec{b}$ от конца вектора $\vec{a}$, то результирующий вектор $\vec{c}$ соединит начало вектора $\vec{a}$ с концом вектора $\vec{b}$, при этом все три вектора будут лежать на одной прямой.

Ответ: Суммой двух одинаково направленных векторов является вектор, направленный в ту же сторону, что и исходные векторы, а его модуль равен сумме модулей исходных векторов.

б) противоположно направленных векторов:

Сложение двух противоположно направленных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ также производится по особому правилу. Результирующий вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ будет иметь следующие характеристики:

1. Направление: Вектор $\vec{c}$ будет направлен в ту же сторону, что и тот из исходных векторов, который имеет бо́льшую длину (модуль). Например, если $|\vec{a}| > |\vec{b}|$, то $\vec{c} \uparrow\uparrow \vec{a}$. Если же $|\vec{b}| > |\vec{a}|$, то $\vec{c} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

2. Длина (модуль): Длина вектора $\vec{c}$ будет равна разности длин исходных векторов (из большей длины вычитается меньшая). Это можно записать с помощью модуля разности: $|\vec{c}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}||$.

Особый случай возникает, когда модули противоположно направленных векторов равны, то есть $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. В этом случае их сумма равна нулевому вектору $\vec{0}$, который имеет нулевую длину и не имеет определенного направления.

Ответ: Суммой двух противоположно направленных векторов является вектор, направленный в сторону вектора с большим модулем, а его модуль равен разности модулей исходных векторов. Если модули векторов равны, их сумма равна нулевому вектору.

б) противоположно направленных векторов.

16. Выразите длину суммы: а) одинаково направленных; б) противоположно направленных векторов через их длины.

а) Пусть даны два одинаково направленных (сонаправленных) вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Это означает, что они указывают в одном и том же направлении, что обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. При сложении таких векторов, результирующий вектор $\vec{a} + \vec{b}$ будет направлен в ту же сторону, а его длина будет равна сумме длин исходных векторов. Это можно представить, как если бы мы отложили один вектор от конца другого вдоль одной прямой.
Ответ: $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

б) Пусть даны два противоположно направленных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Это означает, что они указывают в противоположных направлениях, что обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$. При сложении таких векторов, результирующий вектор $\vec{a} + \vec{b}$ будет направлен в сторону того вектора, который имеет большую длину. Длина результирующего вектора будет равна разности длин большего и меньшего векторов. Чтобы формула была универсальной, независимо от того, какой вектор длиннее, используется модуль разности их длин.
Ответ: $|\vec{a} + \vec{b}| = | |\vec{a}| - |\vec{b}| |$

тельно направленных векторов через их длины.

17. Повторите определения и свойства параллелограмма.

Определения параллелограмма

Существует несколько эквивалентных определений параллелограмма:

1. Геометрическое определение: Параллелограмм — это выпуклый четырёхугольник, у которого противолежащие (противоположные) стороны попарно параллельны. То есть, если в четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны ($AB \parallel CD$), а стороны BC и AD параллельны ($BC \parallel AD$), то этот четырёхугольник является параллелограммом.

2. Векторное определение: Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если для его векторов сторон выполняется равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$ (или, что эквивалентно, $\vec{BC} = \vec{AD}$). Это означает, что одна пара противоположных сторон не только параллельна, но и равна по длине.

Свойства параллелограмма

Если четырёхугольник является параллелограммом, то для него справедливы следующие свойства:

1. Противоположные стороны равны. В параллелограмме ABCD: $AB = CD$ и $BC = AD$.

2. Противоположные углы равны. В параллелограмме ABCD: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$ или $\angle B + \angle C = 180^\circ$.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то $AO = OC$ и $BO = OD$.

5. Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Если a и b — длины смежных сторон, а $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, то $d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий (признаков):

1. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны. Например, если $AB = CD$ и $AB \parallel CD$, то ABCD — параллелограмм.

2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны. Если $AB = CD$ и $BC = AD$, то ABCD — параллелограмм.

3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O так, что $AO = OC$ и $BO = OD$, то ABCD — параллелограмм.

4. Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны. Если $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$, то ABCD — параллелограмм.

Ответ: Выше приведены определения, свойства и признаки параллелограмма.