Страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Диагонали правильного шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке O (рис. 3.6). Укажите вектор, равный вектору $ \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{CF} + \frac{1}{2}\vec{BE} $, началом и концом которого являются вершины этого шестиугольника.

Рис. 3.6

Поскольку ABCDEF – это правильный шестиугольник, точка O является его центром и серединой главных диагоналей AD, BE и CF.

Рассмотрим векторное выражение $ S = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{CF} + \frac{1}{2}\vec{BE} $.

Преобразуем каждый член выражения, используя свойство точки O как середины диагоналей:

1. Так как O – середина отрезка AD, то вектор от вершины A до центра O равен половине вектора диагонали AD: $ \frac{1}{2}\vec{AD} = \vec{AO} $.

2. Так как O – середина отрезка CF, то $ \frac{1}{2}\vec{CF} = \vec{CO} $. Тогда $ -\frac{1}{2}\vec{CF} = -\vec{CO} $. Вектор, противоположный вектору $ \vec{CO} $, есть вектор $ \vec{OC} $. Таким образом, $ -\frac{1}{2}\vec{CF} = \vec{OC} $.

3. Так как O – середина отрезка BE, то $ \frac{1}{2}\vec{BE} = \vec{BO} $.

Подставим полученные векторы в исходное выражение:

$ S = \vec{AO} + \vec{OC} + \vec{BO} $

Сгруппируем и сложим первые два вектора по правилу треугольника (или правилу Шаля):

$ \vec{AO} + \vec{OC} = \vec{AC} $

Теперь выражение принимает вид:

$ S = \vec{AC} + \vec{BO} $

В правильном шестиугольнике четырехугольник BCDO является ромбом (все его стороны равны радиусу описанной окружности). Следовательно, стороны BO и CD параллельны и равны по длине. Значит, векторы $ \vec{BO} $ и $ \vec{CD} $ равны: $ \vec{BO} = \vec{CD} $.

Заменим в нашем выражении вектор $ \vec{BO} $ на равный ему вектор $ \vec{CD} $:

$ S = \vec{AC} + \vec{CD} $

Снова применим правило треугольника для сложения векторов:

$ \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD} $

Таким образом, искомый вектор равен $ \vec{AD} $. Его начало — вершина A, конец — вершина D.

Ответ: $ \vec{AD} $.

8. Упростите выражение $\overline{AB} - \overline{DB} - \overline{CA} + \overline{DA}$.

Для упрощения данного векторного выражения $\overline{AB} - \overline{DB} - \overline{CA} + \overline{DA}$ воспользуемся основными свойствами операций с векторами.

Первый шаг — это замена вычитания на сложение с противоположным вектором. Для любого вектора $\overline{XY}$ справедливо равенство $-\overline{XY} = \overline{YX}$. Применим это правило к нашему выражению:

$-\overline{DB} = \overline{BD}$

$-\overline{CA} = \overline{AC}$

После подстановки этих равенств в исходное выражение оно примет вид:

$\overline{AB} + \overline{BD} + \overline{AC} + \overline{DA}$

Второй шаг — применение правила сложения векторов (правило треугольника или правило Шаля), которое гласит, что для любых трех точек P, Q, R справедливо равенство: $\overline{PQ} + \overline{QR} = \overline{PR}$. Для удобства применения этого правила сгруппируем векторы в полученном выражении, предварительно переставив слагаемые:

$(\overline{AB} + \overline{BD}) + (\overline{DA} + \overline{AC})$

Теперь упростим каждую группу, используя правило треугольника:

Для первой группы: $\overline{AB} + \overline{BD} = \overline{AD}$

Для второй группы: $\overline{DA} + \overline{AC} = \overline{DC}$

Подставим упрощенные группы обратно в выражение:

$\overline{AD} + \overline{DC}$

Наконец, еще раз применим правило треугольника к полученной сумме векторов:

$\overline{AD} + \overline{DC} = \overline{AC}$

Таким образом, исходное выражение упрощается до вектора $\overline{AC}$.

Ответ: $\overline{AC}$

9. В треугольнике ABC $AC = 8, BC = 6, \angle C = 90^\circ$. Найдите:

а) $\left|\overline{AC}\right| - \left|\overline{BC}\right|$;

б) $\left|\overline{AC} - \overline{BC}\right|$;

в) $\left|\overline{AC} - \frac{1}{2}\overline{AB}\right|$;

г) $\left|\overline{AC} - \frac{1}{2}\overline{AB}\right|$.

По условию задачи в треугольнике $ABC$ имеем: $AC = 8$, $BC = 6$, $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что треугольник является прямоугольным, а $AC$ и $BC$ - его катеты. Модули векторов равны длинам соответствующих сторон: $|\vec{AC}| = 8$ и $|\vec{BC}| = 6$.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора, так как она понадобится для дальнейших вычислений: $|\vec{AB}| = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

а) Требуется найти разность модулей (длин) векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$. Подставляя известные значения длин сторон, получаем: $|\vec{AC}| - |\vec{BC}| = 8 - 6 = 2$.
Ответ: 2

б) Требуется найти модуль разности векторов $|\vec{AC} - \vec{BC}|$. Разность векторов $\vec{AC} - \vec{BC}$ можно представить как сумму $\vec{AC} + (-\vec{BC})$. Вектор, противоположный $\vec{BC}$, есть вектор $\vec{CB}$. Таким образом, искомый вектор равен сумме $\vec{AC} + \vec{CB}$. По правилу треугольника для сложения векторов (конец одного вектора совмещается с началом другого), сумма $\vec{AC} + \vec{CB}$ равна вектору $\vec{AB}$. Следовательно, $|\vec{AC} - \vec{BC}| = |\vec{AB}|$. Длина гипотенузы $AB$ была найдена ранее и равна 10.
Ответ: 10

в) Данное выражение является разностью длин (модулей). Используем ранее вычисленную длину гипотенузы $|\vec{AB}| = 10$: $|\vec{AC}| - \frac{1}{2}|\vec{AB}| = 8 - \frac{1}{2} \cdot 10 = 8 - 5 = 3$.
Ответ: 3

г) Требуется найти модуль векторного выражения $|\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}|$. Пусть точка $M$ — это середина гипотенузы $AB$. Тогда вектор $\vec{AM}$ по определению равен $\frac{1}{2}\vec{AB}$. Исходное выражение можно переписать в виде $|\vec{AC} - \vec{AM}|$. По правилу треугольника для сложения векторов, $\vec{AM} + \vec{MC} = \vec{AC}$, откуда следует, что $\vec{MC} = \vec{AC} - \vec{AM}$. Таким образом, нам нужно найти модуль вектора $\vec{MC}$, то есть длину отрезка $MC$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ отрезок $MC$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. По свойству такой медианы, ее длина равна половине длины гипотенузы: $MC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$.
Ответ: 5

10. Изобразите векторы $\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$, для которых $\vec{a} + \vec{x} = \overline{AB}$, $\vec{b} + \vec{y} = \overline{AB}$, $\vec{c} + \vec{z} = \overline{AB}$ (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Для того чтобы найти и изобразить векторы $\vec{x}$, $\vec{y}$ и $\vec{z}$, необходимо сначала выразить их из данных уравнений, а затем вычислить их координаты, используя информацию с рисунка.

Введем систему координат, где начало отсчета находится в левом нижнем углу сетки, а сторона одной клетки равна единице. Положительное направление оси Ox — вправо, оси Oy — вверх. Определим координаты данных векторов, подсчитав смещение по осям:
- Вектор $\vec{AB}$ начинается в точке A и заканчивается в точке B. Смещение составляет 2 клетки вправо и 3 клетки вверх. Таким образом, $\vec{AB} = \{2; 3\}$.
- Вектор $\vec{a}$ направлен на 2 клетки вправо. Его координаты: $\vec{a} = \{2; 0\}$.
- Вектор $\vec{b}$ направлен на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх. Его координаты: $\vec{b} = \{3; 1\}$.
- Вектор $\vec{c}$ направлен на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх. Его координаты: $\vec{c} = \{2; 2\}$.

Теперь, зная координаты исходных векторов, мы можем найти координаты искомых векторов.

$\vec{a} + \vec{x} = \vec{AB}$

Чтобы найти вектор $\vec{x}$, вычтем вектор $\vec{a}$ из вектора $\vec{AB}$:
$\vec{x} = \vec{AB} - \vec{a}$
$\vec{x} = \{2; 3\} - \{2; 0\} = \{2-2; 3-0\} = \{0; 3\}$
Это вектор, направленный вертикально вверх на 3 единицы.
Ответ: $\vec{x} = \{0; 3\}$.

$\vec{b} + \vec{y} = \vec{AB}$

Чтобы найти вектор $\vec{y}$, вычтем вектор $\vec{b}$ из вектора $\vec{AB}$:
$\vec{y} = \vec{AB} - \vec{b}$
$\vec{y} = \{2; 3\} - \{3; 1\} = \{2-3; 3-1\} = \{-1; 2\}$
Это вектор, направленный на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх.
Ответ: $\vec{y} = \{-1; 2\}$.

$\vec{c} + \vec{z} = \vec{AB}$

Чтобы найти вектор $\vec{z}$, вычтем вектор $\vec{c}$ из вектора $\vec{AB}$:
$\vec{z} = \vec{AB} - \vec{c}$
$\vec{z} = \{2; 3\} - \{2; 2\} = \{2-2; 3-2\} = \{0; 1\}$
Это вектор, направленный вертикально вверх на 1 единицу.
Ответ: $\vec{z} = \{0; 1\}$.

Изобразим найденные векторы $\vec{x}$, $\vec{y}$ и $\vec{z}$ на сетке. Исходные векторы показаны бирюзовым цветом, а искомые — синим.

11. В трапеции ABCD отрезок EF — средняя линия (рис. 3.8). Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

Рис. 3.8

Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, точки E и F являются серединами боковых сторон AD и BC соответственно. Чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через векторы оснований $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника).

Представим вектор $\vec{EF}$ как сумму векторов, составляющих ломаную линию, соединяющую точки E и F. Это можно сделать двумя способами, двигаясь по контуру трапеции.

1. Путь через вершины D и C:
$\vec{EF} = \vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CF}$

2. Путь через вершины A и B:
$\vec{EF} = \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BF}$

Сложим эти два равенства:
$\vec{EF} + \vec{EF} = (\vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CF}) + (\vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BF})$

Сгруппируем слагаемые:
$2\vec{EF} = (\vec{EA} + \vec{ED}) + (\vec{BF} + \vec{CF}) + \vec{AB} + \vec{DC}$

Теперь рассмотрим суммы векторов в скобках.

Так как точка E является серединой отрезка AD, то векторы $\vec{EA}$ и $\vec{ED}$ равны по длине и противоположны по направлению. Это означает, что их сумма равна нулевому вектору:
$\vec{EA} = -\vec{ED} \implies \vec{EA} + \vec{ED} = \vec{0}$

Аналогично, так как точка F является серединой отрезка BC, то векторы $\vec{BF}$ и $\vec{FC}$ равны ($\vec{BF} = \vec{FC}$). Вектор $\vec{CF}$ противоположен вектору $\vec{FC}$. Следовательно, $\vec{CF} = -\vec{FC} = -\vec{BF}$. Тогда их сумма также равна нулевому вектору:
$\vec{BF} + \vec{CF} = \vec{BF} + (-\vec{BF}) = \vec{0}$

Подставим полученные результаты в сгруппированное уравнение:
$2\vec{EF} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{AB} + \vec{DC}$

$2\vec{EF} = \vec{AB} + \vec{DC}$

Разделив обе части на 2, получим искомое выражение для вектора $\vec{EF}$:
$\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{DC})$

Ответ: $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{DC})$

12. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для любой точки X выполняется равенство $\overline{XA} + \overline{XC} = \overline{XB} + \overline{XD}$.

Для доказательства равенства $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$ преобразуем его, используя правила действий с векторами.

Перенесем векторы из правой части равенства в левую:

$\vec{XA} + \vec{XC} - \vec{XB} - \vec{XD} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(\vec{XA} - \vec{XB}) + (\vec{XC} - \vec{XD}) = \vec{0}$

Воспользуемся правилом вычитания векторов, согласно которому разность векторов с общим началом равна вектору, соединяющему их концы в направлении от вычитаемого к уменьшаемому. То есть, $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$. Применительно к нашим парам векторов с общим началом в точке $X$:

$\vec{XA} - \vec{XB} = \vec{BA}$

$\vec{XC} - \vec{XD} = \vec{DC}$

Подставим полученные выражения обратно в наше уравнение:

$\vec{BA} + \vec{DC} = \vec{0}$

Теперь необходимо показать, что это равенство справедливо для любого параллелограмма $ABCD$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. Если вершины $A, B, C, D$ перечислены последовательно, то вектор, идущий из $A$ в $B$, равен вектору, идущему из $D$ в $C$. Запишем это в виде векторного равенства:

$\vec{AB} = \vec{DC}$

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Подставим это в предыдущее равенство:

$-\vec{BA} = \vec{DC}$

Перенеся $\vec{DC}$ в левую часть, получим:

$-\vec{BA} - \vec{DC} = \vec{0}$, что эквивалентно $\vec{BA} + \vec{DC} = \vec{0}$.

Мы пришли к тому же равенству, которое получили из исходного. Поскольку все преобразования были равносильными, а равенство $\vec{BA} + \vec{DC} = \vec{0}$ является свойством любого параллелограмма $ABCD$, то исходное утверждение $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$ также верно для любой точки $X$.

Ответ: Равенство доказано.

13. В каком случае выполняются равенства:

а) $\bar{a} - \bar{b} = \bar{b} - \bar{a}$;

б) $\bar{a} - \bar{b} = -\bar{a} - \bar{b}$?

а)

Рассмотрим равенство $\vec{a} - \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$.

Для решения этого уравнения используем свойства операций над векторами. Перенесем все слагаемые, содержащие вектор $\vec{a}$, в левую часть равенства, а слагаемые, содержащие вектор $\vec{b}$, в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$\vec{a} + \vec{a} = \vec{b} + \vec{b}$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях равенства:

$2\vec{a} = 2\vec{b}$

Разделим обе части равенства на скаляр 2:

$\vec{a} = \vec{b}$

Таким образом, равенство выполняется в том случае, когда вектор $\vec{a}$ равен вектору $\vec{b}$. Равные векторы имеют одинаковые длины (модули) и одинаковое направление (сонаправлены).

Ответ: равенство выполняется, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то есть $\vec{a} = \vec{b}$.

б)

Рассмотрим равенство $\vec{a} - \vec{b} = -\vec{a} - \vec{b}$.

Используем алгебраические преобразования. Прибавим к обеим частям равенства вектор $\vec{b}$:

$(\vec{a} - \vec{b}) + \vec{b} = (-\vec{a} - \vec{b}) + \vec{b}$

$\vec{a} + (-\vec{b} + \vec{b}) = -\vec{a} + (-\vec{b} + \vec{b})$

Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору $\vec{0}$:

$\vec{a} + \vec{0} = -\vec{a} + \vec{0}$

$\vec{a} = -\vec{a}$

Теперь перенесем слагаемое $-\vec{a}$ из правой части в левую:

$\vec{a} + \vec{a} = \vec{0}$

$2\vec{a} = \vec{0}$

Разделим обе части на скаляр 2:

$\vec{a} = \vec{0}$

Таким образом, данное равенство справедливо тогда и только тогда, когда вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором. При этом вектор $\vec{b}$ может быть любым.

Ответ: равенство выполняется, если вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором, то есть $\vec{a} = \vec{0}$.

a, a, b, a, c, d, b, d, b.

14. Докажите, что выполняется равенство $t(\vec{a} - \vec{b}) = t\vec{a} - t\vec{b}$.

Для доказательства данного равенства воспользуемся координатным методом. Докажем утверждение для векторов на плоскости. Для векторов в пространстве доказательство будет полностью аналогичным.

Пусть даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами $\vec{a} = (a_1; a_2)$ и $\vec{b} = (b_1; b_2)$, и пусть $t$ – это произвольное действительное число (скаляр).

Рассмотрим левую часть равенства $t(\vec{a} - \vec{b})$ и преобразуем её.

1. Сначала выполним операцию вычитания векторов. Разность векторов находится путем вычитания их соответствующих координат:

$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1; a_2 - b_2)$

2. Теперь умножим полученный вектор $\vec{c}$ на скаляр $t$. Умножение вектора на число заключается в умножении каждой его координаты на это число:

$t(\vec{a} - \vec{b}) = t \cdot \vec{c} = (t(a_1 - b_1); t(a_2 - b_2))$

Раскроем скобки в каждой координате, используя распределительный закон умножения для действительных чисел:

$t(\vec{a} - \vec{b}) = (ta_1 - tb_1; ta_2 - tb_2)$

Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства $t\vec{a} - t\vec{b}$ и также преобразуем её.

1. Сначала умножим каждый из векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на скаляр $t$:

$t\vec{a} = t(a_1; a_2) = (ta_1; ta_2)$

$t\vec{b} = t(b_1; b_2) = (tb_1; tb_2)$

2. Теперь найдем разность полученных векторов $t\vec{a}$ и $t\vec{b}$:

$t\vec{a} - t\vec{b} = (ta_1; ta_2) - (tb_1; tb_2) = (ta_1 - tb_1; ta_2 - tb_2)$

Сравнивая итоговые выражения для левой и правой частей, мы видим, что они равны:

$(ta_1 - tb_1; ta_2 - tb_2) = (ta_1 - tb_1; ta_2 - tb_2)$

Таким образом, мы доказали, что $t(\vec{a} - \vec{b}) = t\vec{a} - t\vec{b}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $t(\vec{a} - \vec{b}) = t\vec{a} - t\vec{b}$ доказано. Преобразовав левую и правую части выражения с использованием определений операций над векторами в координатах (вычитание и умножение на скаляр), мы получили идентичные выражения для координат результирующего вектора, что подтверждает истинность равенства.

15. Докажите, что выполняется равенство $(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})$.

Для доказательства равенства $(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})$ необходимо показать, что левая часть тождественно равна правой. Для этого мы последовательно преобразуем левую часть, используя основные свойства операций над векторами.

1. Рассмотрим левую часть равенства: $(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c}$.

2. Воспользуемся определением разности векторов. Разность двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ определяется как сумма вектора $\vec{x}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{y}$, то есть $\vec{x} - \vec{y} = \vec{x} + (-\vec{y})$. Применим это определение к нашему выражению дважды:

$(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = (\vec{a} + (-\vec{b})) + (-\vec{c})$

3. Сложение векторов ассоциативно (обладает сочетательным свойством), что означает $(\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z})$ для любых векторов $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$. Применим это свойство, чтобы перегруппировать слагаемые:

$(\vec{a} + (-\vec{b})) + (-\vec{c}) = \vec{a} + ((-\vec{b}) + (-\vec{c}))$

4. Теперь рассмотрим выражение в скобках: $(-\vec{b}) + (-\vec{c})$. Сумма векторов, противоположных $\vec{b}$ и $\vec{c}$, равна вектору, противоположному их сумме. То есть, $(-\vec{b}) + (-\vec{c}) = -(\vec{b} + \vec{c})$. Подставим это обратно в наше выражение:

$\vec{a} + ((-\vec{b}) + (-\vec{c})) = \vec{a} + (-(\vec{b} + \vec{c}))$

5. Наконец, снова применим определение разности векторов $\vec{x} + (-\vec{y}) = \vec{x} - \vec{y}$ к полученному выражению:

$\vec{a} + (-(\vec{b} + \vec{c})) = \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства к его правой части. Это доказывает, что равенство $(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})$ верно для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

Ответ: Равенство доказано.

16. Докажите, что $\lVert \vert \vec{a} \vert - \vert \vec{b} \vert \rVert \leq \vert \vec{a} - \vec{b} \vert$. При каком расположении векторов достигается равенство?

Докажите, что $|\,|\vec{a}| - |\vec{b}|\,| \le |\vec{a} - \vec{b}|$

Данное неравенство известно как обратное неравенство треугольника. Докажем его, используя свойство скалярного произведения векторов. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства не изменится:

$(|\,|\vec{a}| - |\vec{b}|\,|)^2 \le |\vec{a} - \vec{b}|^2$

Преобразуем левую часть:

$(|\,|\vec{a}| - |\vec{b}|\,|)^2 = (|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Теперь преобразуем правую часть. Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$|\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2 \le |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Вычтем из обеих частей $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$:

$-2|\vec{a}||\vec{b}| \le -2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Разделим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$|\vec{a}||\vec{b}| \ge \vec{a} \cdot \vec{b}$

Используя определение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, получаем:

$|\vec{a}||\vec{b}| \ge |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

Если один из векторов нулевой, неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что верно. Если оба вектора ненулевые, можно разделить обе части на положительное число $|\vec{a}||\vec{b}|$:

$1 \ge \cos\theta$

Это неравенство справедливо для любого угла $\theta$, поскольку максимальное значение функции косинуса равно 1. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано путем возведения обеих его частей в квадрат и использования свойств скалярного произведения.

При каком расположении векторов достигается равенство?

Равенство в исходном неравенстве, $|\,|\vec{a}| - |\vec{b}|\,| = |\vec{a} - \vec{b}|$, достигается в том и только в том случае, когда все неравенства в ходе доказательства обращаются в равенства.

Ключевым шагом было неравенство $|\vec{a}||\vec{b}| \ge \vec{a} \cdot \vec{b}$. Соответственно, равенство будет выполняться при:

$|\vec{a}||\vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b}$

Подставим определение скалярного произведения:

$|\vec{a}||\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — ненулевые векторы, то можно сократить на $|\vec{a}||\vec{b}|$, получив:

$\cos\theta = 1$

Это условие выполняется, когда угол между векторами $\theta = 0$. Векторы с углом 0 градусов между ними являются сонаправленными (коллинеарны и направлены в одну сторону).

Если же один из векторов (или оба) является нулевым, равенство также выполняется. Например, если $\vec{a} = \vec{0}$, то исходное выражение становится $|0 - |\vec{b}|| = |\vec{0} - \vec{b}|$, что равносильно $|\vec{b}| = |-\vec{b}|$, или $|\vec{b}| = |\vec{b}|$. Это тождество. Случай нулевого вектора можно рассматривать как частный случай сонаправленности.

Таким образом, равенство достигается, когда векторы сонаправлены.

Ответ: Равенство достигается, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (направлены в одну и ту же сторону), включая случай, когда один или оба вектора являются нулевыми.

17. Повторите определение коллинеарных векторов.

18. В.

Определение коллинеарных векторов

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор ($\vec{0}$) по определению считается коллинеарным любому вектору.

Слово "коллинеарный" происходит от латинских слов "co" (вместе) и "linearis" (линейный), что дословно означает "принадлежащие одной линии".

Коллинеарные векторы могут быть:
• Сонаправленными: если они направлены в одну сторону. Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ это обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.
• Противоположно направленными: если они направлены в противоположные стороны. Это обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Алгебраическое условие коллинеарности

Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число $k$ (называемое скаляром или коэффициентом пропорциональности), что выполняется равенство:
$\vec{b} = k \cdot \vec{a}$
При этом:
• Если $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.
• Если $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.
• Если $k = 0$, то $\vec{b}$ является нулевым вектором ($\vec{b} = \vec{0}$).

Условие коллинеарности в координатах

Если векторы на плоскости или в пространстве заданы своими координатами, например, $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, то они коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что $x_2 = k \cdot x_1$, $y_2 = k \cdot y_1$ и $z_2 = k \cdot z_1$.
Если все координаты вектора $\vec{a}$ отличны от нуля, это условие можно записать в виде пропорции:
$\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$
Если какая-то из координат вектора $\vec{a}$ равна нулю (например, $x_1 = 0$), то для коллинеарности соответствующая координата вектора $\vec{b}$ также должна быть равна нулю ($x_2 = 0$).

Пример: Векторы $\vec{m} = \{2; -1; 5\}$ и $\vec{n} = \{6; -3; 15\}$ коллинеарны, так как $\vec{n} = 3 \cdot \vec{m}$. Здесь $k=3 > 0$, следовательно, векторы сонаправлены. Вектор $\vec{p} = \{-4; 2; -10\}$ также коллинеарен вектору $\vec{m}$, так как $\vec{p} = -2 \cdot \vec{m}$. Здесь $k=-2 < 0$, следовательно, векторы $\vec{m}$ и $\vec{p}$ противоположно направлены.

Ответ: Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что выполняется равенство $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$. Если векторы заданы в координатах, $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, то они коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть $x_2 = kx_1, y_2 = ky_1, z_2 = kz_1$ для некоторого числа $k$. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

18. Для двух данных ненулевых коллинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ укажите число $t$, для которого выполняется равенство $\vec{b}=t\vec{a}$.

Выразите это число через длины векторов.

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются коллинеарными и ненулевыми, то по определению коллинеарности существует такое число $t$, что выполняется равенство $\vec{b} = t\vec{a}$.

Чтобы выразить число $t$ через длины векторов, найдем длины (модули) обеих частей этого равенства. Длина вектора обозначается как $|\vec{v}|$.

Возьмем длину от левой и правой частей равенства $\vec{b} = t\vec{a}$:

$|\vec{b}| = |t\vec{a}|$

Используя свойство длины вектора, согласно которому $|k\vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$ для любого скаляра $k$ и вектора $\vec{v}$, получаем:

$|\vec{b}| = |t| \cdot |\vec{a}|$

Так как вектор $\vec{a}$ ненулевой, его длина $|\vec{a}|$ не равна нулю, и мы можем выразить модуль числа $t$:

$|t| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

Теперь необходимо определить знак числа $t$. Знак зависит от направления векторов.

Случай 1: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$)

Если векторы имеют одинаковое направление, то скалярный множитель $t$ будет положительным, то есть $t > 0$. В этом случае $|t| = t$. Следовательно, для сонаправленных векторов:

$t = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

Ответ: $t = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

Случай 2: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$)

Если векторы имеют противоположные направления, то скалярный множитель $t$ будет отрицательным, то есть $t < 0$. В этом случае $|t| = -t$. Следовательно, для противоположно направленных векторов:

$-t = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

Умножив обе части на -1, получаем:

$t = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

Ответ: $t = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$