Страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Для правильного шестиугольника ABCDEF (рис. 5.2) найдите угол между векторами:

а) $\overline{AB}$ и $\overline{BC}$;

б) $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$;

в) $\overline{AB}$ и $\overline{EF}$;

г) $\overline{AC}$ и $\overline{BE}$.

Рис. 5.2

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника $ABCDEF$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Все стороны равны.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Чтобы найти угол между двумя векторами, их необходимо отложить от одной точки. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ приложены последовательно. Угол между векторами $\vec{BA}$ (противоположным вектору $\vec{AB}$) и $\vec{BC}$ — это внутренний угол шестиугольника $\angle ABC$, который равен $120^\circ$.

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ составляет $180^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ является смежным с углом $\angle ABC$.

Искомый угол $(\widehat{\vec{AB}, \vec{BC}})$ равен:

$(\widehat{\vec{AB}, \vec{BC}}) = 180^\circ - (\widehat{\vec{BA}, \vec{BC}}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ есть пары параллельных сторон. В частности, сторона $AF$ параллельна стороне $CD$. Векторы $\vec{AF}$ и $\vec{CD}$ имеют одинаковую длину и одинаковое направление, следовательно, $\vec{AF} = \vec{CD}$.

Поэтому угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равен углу между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$.

$(\widehat{\vec{AB}, \vec{CD}}) = (\widehat{\vec{AB}, \vec{AF}})$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ отложены от одной точки $A$. Угол между ними равен внутреннему углу шестиугольника $\angle FAB$.

Так как $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, $\angle FAB = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$

В правильном шестиугольнике сторона $FE$ параллельна стороне $BC$. Векторы $\vec{FE}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены и равны по длине, то есть $\vec{FE} = \vec{BC}$.

Вектор $\vec{EF}$ направлен в противоположную сторону к вектору $\vec{FE}$, поэтому $\vec{EF} = -\vec{FE} = -\vec{BC}$.

Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$ равен углу между векторами $\vec{AB}$ и $-\vec{BC}$.

Угол между векторами $\vec{u}$ и $-\vec{v}$ равен $180^\circ$ минус угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

Из пункта а) мы знаем, что угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен $60^\circ$.

Тогда $(\widehat{\vec{AB}, \vec{EF}}) = (\widehat{\vec{AB}, -\vec{BC}}) = 180^\circ - (\widehat{\vec{AB}, \vec{BC}}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

г) $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$

Для нахождения угла между диагоналями $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ поместим шестиугольник в декартову систему координат. Расположим центр шестиугольника $O$ в начале координат $(0,0)$ так, чтобы большая диагональ $BE$ лежала на оси $Oy$.

Пусть расстояние от центра до вершины равно $s$. Тогда вершины $B$ и $E$ будут иметь координаты $B(0, s)$ и $E(0, -s)$.

Вершины $A$ и $C$ симметричны относительно оси $Oy$. Угол $\angle BOC$ равен $60^\circ$. Координаты вершин $A$ и $C$ будут:

$C(s \cdot \cos(30^\circ), s \cdot \sin(30^\circ)) = C(s\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{s}{2})$

$A(s \cdot \cos(150^\circ), s \cdot \sin(150^\circ)) = A(-s\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{s}{2})$

Теперь найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$:

$\vec{AC} = C - A = (s\frac{\sqrt{3}}{2} - (-s\frac{\sqrt{3}}{2}), \frac{s}{2} - \frac{s}{2}) = (s\sqrt{3}, 0)$. Этот вектор параллелен оси $Ox$.

$\vec{BE} = E - B = (0 - 0, -s - s) = (0, -2s)$. Этот вектор параллелен оси $Oy$.

Вектор, параллельный оси $Ox$, и вектор, параллельный оси $Oy$, перпендикулярны. Следовательно, угол между ними составляет $90^\circ$.

Это также можно подтвердить, вычислив их скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{BE} = (s\sqrt{3}) \cdot 0 + 0 \cdot (-2s) = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, а векторы ненулевые, они перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$.

7. Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1 найдите скалярное произведение:

а) $\overline{AB}$ и $\overline{BC}$;

б) $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$;

в) $\overline{AB}$ и $\overline{EF}$;

г) $\overline{AC}$ и $\overline{BE}$.

8. В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной 1 проведена

Для решения задачи воспользуемся определением скалярного произведения векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — это угол между векторами, когда их начала совмещены. Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1, длина каждой стороны равна 1, а каждый внутренний угол равен $120^\circ$.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$
Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{BC}| = 1$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ находится, если поместить их начала в одну точку. Этот угол является смежным с внутренним углом $\angle ABC$ и равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Таким образом, скалярное произведение равно:
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$
Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{CD}| = 1$. Чтобы найти угол между ними, рассмотрим последовательные повороты векторов сторон. Если вектор $\vec{AB}$ направлен вдоль оси Ox, то вектор $\vec{BC}$ повернут относительно него на внешний угол $60^\circ$. Вектор $\vec{CD}$ повернут еще на $60^\circ$ относительно $\vec{BC}$. Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ составляет $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Скалярное произведение:
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$
Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{EF}| = 1$. В правильном шестиугольнике вектор стороны $\vec{EF}$ параллелен вектору стороны $\vec{CB}$ и равен ему, то есть $\vec{EF} = \vec{CB}$. Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$, поэтому $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Следовательно, скалярное произведение можно выразить через произведение из пункта а):
$\vec{AB} \cdot \vec{EF} = \vec{AB} \cdot \vec{CB} = \vec{AB} \cdot (-\vec{BC}) = -(\vec{AB} \cdot \vec{BC})$.
Так как $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}$, то $\vec{AB} \cdot \vec{EF} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$
Найдем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$, используя метод координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0)$, а вершину $B$ — в точку $(1,0)$. Тогда $\vec{AB} = (1, 0)$.
Координаты вершины $C$ найдем, прибавив к координатам точки $B$ вектор $\vec{BC}$, который имеет длину 1 и составляет угол $60^\circ$ с положительным направлением оси Ox:
$C = (1 + 1 \cdot \cos(60^\circ), 0 + 1 \cdot \sin(60^\circ)) = (1 + \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Отсюда вектор $\vec{AC} = C - A = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Найдем координаты вершины $E$. Двигаясь по периметру:
$D = C + (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ)) = (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = (1, \sqrt{3})$.
$E = D + (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ)) = (1 - 1, \sqrt{3} + 0) = (0, \sqrt{3})$.
Вектор $\vec{BE} = E - B = (0-1, \sqrt{3}-0) = (-1, \sqrt{3})$.
Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$:
$\vec{AC} \cdot \vec{BE} = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-1, \sqrt{3}) = \frac{3}{2} \cdot (-1) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$.
Ответ: $0$.

8. В равностороннем треугольнике ABC со стороной 1 проведена высота CD (рис. 5.3). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

б) $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$;

в) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$;

г) $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$.

Рис. 5.3

Для решения задачи воспользуемся определением скалярного произведения векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов, а $\alpha$ — угол между ними, когда они отложены от одной точки.

По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний со стороной 1. Это означает, что длины всех его сторон равны 1, а все внутренние углы равны $60^\circ$. Таким образом, $|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = |\vec{BC}| = 1$, и $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

$CD$ — высота, проведенная к стороне $AB$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $CD$ перпендикулярна $AB$, точка $D$ — середина $AB$, а $CD$ делит угол $\angle C$ пополам. Отсюда $\angle ACD = \angle BCD = 30^\circ$ и $\angle CDA = 90^\circ$.

Найдем длину высоты $CD$ из прямоугольного треугольника $ADC$ по теореме Пифагора: $|CD|^2 = |AC|^2 - |AD|^2$. Так как $D$ — середина $AB$, то $|AD| = \frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}$. Получаем: $|CD|^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, откуда $|\vec{CD}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем скалярные произведения для каждой пары векторов.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной точки $A$. Угол между ними — это угол при вершине $A$, то есть $\alpha = \angle CAB = 60^\circ$. Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{AC}| = 1$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$, их нужно отложить от одной точки. Рассмотрим векторы, выходящие из вершины $C$: $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$. Угол между ними равен $\angle ACB = 60^\circ$. Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ направлены к одной точке $C$.

Связь между векторами: $\vec{AC} = -\vec{CA}$ и $\vec{BC} = -\vec{CB}$.

Тогда скалярное произведение равно: $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = (-\vec{CA}) \cdot (-\vec{CB}) = \vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

Вектор $\vec{CD}$ соответствует высоте, опущенной на сторону $AB$. По определению высоты, прямая $CD$ перпендикулярна прямой $AB$.

Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равен $90^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

г) $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$, их нужно отложить от одной точки. Угол между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$ (оба исходят из точки $C$) равен $\angle BCD = 30^\circ$, так как $CD$ — биссектриса угла $\angle C$.

Вектор $\vec{BC}$ противоположен вектору $\vec{CB}$. Следовательно, угол $\alpha$ между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$ равен $180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Тогда скалярное произведение равно: $\vec{BC} \cdot \vec{CD} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(150^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\cos(30^\circ)) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

9. В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $2$ проведены медианы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ (рис. 5.4). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AA_1}$;

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$.

Рис. 5.4

В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=2$ все углы равны $60^\circ$, а медианы ($AA_1, BB_1, CC_1$) являются также высотами и биссектрисами. Для решения задачи введем базисные векторы, совпадающие со сторонами треугольника, выходящими из одной вершины, например, $\vec{b} = \vec{AB}$ и $\vec{c} = \vec{AC}$.

Найдем их основные характеристики:

Длины векторов равны длине стороны треугольника: $|\vec{b}| = |\vec{AB}| = 2$ и $|\vec{c}| = |\vec{AC}| = 2$.

Скалярное произведение этих векторов равно:$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

a) Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AA_1}$

Вектор медианы $\vec{AA_1}$ можно выразить через векторы сторон, выходящих из той же вершины $A$. Так как $A_1$ — середина стороны $BC$, то вектор $\vec{AA_1}$ является полусуммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AA_1}$:$\vec{AB} \cdot \vec{AA_1} = \vec{b} \cdot \left(\frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})\right) = \frac{1}{2}(\vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c})$.

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины: $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$. Подставим известные значения:$\frac{1}{2}(|\vec{b}|^2 + \vec{b} \cdot \vec{c}) = \frac{1}{2}(2^2 + 2) = \frac{1}{2}(4 + 2) = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$.

Ответ: 3

б) Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$

Выражение для вектора $\vec{AA_1}$ у нас уже есть: $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.

Теперь выразим вектор медианы $\vec{BB_1}$ через наши базисные векторы. Вектор $\vec{BB_1}$ можно представить как сумму векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AB_1}$.Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{b}$.Точка $B_1$ является серединой стороны $AC$, поэтому $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{c}$.Следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{BA} + \vec{AB_1} = -\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$.

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1}$:$\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = \left(\frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})\right) \cdot \left(-\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}\right)$.

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:$\frac{1}{2}\left((\vec{b} + \vec{c}) \cdot (-\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c})\right) = \frac{1}{2}\left(-\vec{b}\cdot\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{b}\cdot\vec{c} - \vec{c}\cdot\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}\cdot\vec{c}\right)$.

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{c}\cdot\vec{b}$), упростим выражение:$\frac{1}{2}\left(-|\vec{b}|^2 - \frac{1}{2}(\vec{b}\cdot\vec{c}) + \frac{1}{2}|\vec{c}|^2\right)$.

Подставим известные значения $|\vec{b}|=2$, $|\vec{c}|=2$ и $\vec{b}\cdot\vec{c}=2$:$\frac{1}{2}\left(-2^2 - \frac{1}{2}(2) + \frac{1}{2}(2^2)\right) = \frac{1}{2}\left(-4 - 1 + \frac{1}{2}\cdot4\right) = \frac{1}{2}(-4 - 1 + 2) = \frac{1}{2}(-3) = -1.5$.

Ответ: -1.5

10. Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{a}$ и $\vec{b}$;

б) $\vec{a}$ и $\vec{c}$;

в) $\vec{a}$ и $\vec{d}$ (рис. 5.5). Стороны клеток равны 1.

Для нахождения скалярного произведения векторов, представленных на клетчатой бумаге, сначала определим их координаты. Примем, что сторона одной клетки равна 1. Координаты вектора находятся как разность координат его конечной и начальной точек.

Определим координаты каждого вектора по рисунку:
Вектор $\vec{a}$ направлен горизонтально вправо на 2 клетки. Его координаты: $\vec{a} = \{2; 0\}$.
Вектор $\vec{b}$ смещен на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Его координаты: $\vec{b} = \{2; 2\}$.
Вектор $\vec{c}$ смещен на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Его координаты: $\vec{c} = \{3; 1\}$.
Вектор $\vec{d}$ смещен на 2 клетки вправо и на 4 клетки вверх. Его координаты: $\vec{d} = \{2; 4\}$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{u} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{v} = \{x_2; y_2\}$ на плоскости вычисляется по формуле: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$.

а) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 4 + 0 = 4$.
Ответ: 4.

б) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 3 + 0 \cdot 1 = 6 + 0 = 6$.
Ответ: 6.

в) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{d}$:
$\vec{a} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 4 = 4 + 0 = 4$.
Ответ: 4.

b) $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 5.5). Стороны клеток равны 1.

11. При каком угле между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ их скалярное произведение будет:

а) наибольшим;

б) наименьшим?

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$,где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.Поскольку длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ являются постоянными положительными величинами (для ненулевых векторов), значение скалярного произведения зависит от значения $\cos(\alpha)$. Угол между векторами $\alpha$ может изменяться в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

а) наибольшим
Скалярное произведение будет наибольшим, когда множитель $\cos(\alpha)$ принимает свое максимальное значение. Максимальное значение функции косинуса равно 1. Это достигается, когда угол $\alpha = 0^\circ$.При таком угле векторы сонаправлены, то есть лежат на одной прямой (коллинеарны) и направлены в одну сторону. Скалярное произведение в этом случае равно произведению их длин: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.
Ответ: скалярное произведение будет наибольшим при угле $0^\circ$.

б) наименьшим
Скалярное произведение будет наименьшим, когда множитель $\cos(\alpha)$ принимает свое минимальное значение. В диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ минимальное значение функции косинуса равно -1. Это достигается, когда угол $\alpha = 180^\circ$.При таком угле векторы противоположно направлены, то есть лежат на одной прямой (коллинеарны), но направлены в разные стороны. Скалярное произведение в этом случае будет отрицательным и равным $-|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.
Ответ: скалярное произведение будет наименьшим при угле $180^\circ$.

12. Докажите, что если длины ненулевых неколлинеарных векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равны, то векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ перпендикулярны.

Чтобы доказать, что два ненулевых вектора перпендикулярны, необходимо и достаточно доказать, что их скалярное произведение равно нулю. В данном случае нам нужно доказать, что $ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0 $.

Вычислим это скалярное произведение, используя его свойства.
Выражение $ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) $ представляет собой скалярное произведение, которое можно раскрыть по аналогии с формулой разности квадратов для чисел, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения:
$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} $

Поскольку скалярное произведение коммутативно (то есть $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $), два средних члена взаимно уничтожаются:
$ -\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} = -\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $

Тогда выражение упрощается до:
$ \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} $

Скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат) равно квадрату его длины (модуля): $ \vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2 $. Применив это свойство, получим:
$ |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 $

По условию задачи, длины векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равны, то есть $ |\vec{a}| = |\vec{b}| $. Следовательно, квадраты их длин также равны: $ |\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 $.

Подставим это равенство в полученное выражение:
$ |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0 $

Так как скалярное произведение векторов $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Условия, что векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ ненулевые и неколлинеарные, гарантируют, что векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ также ненулевые.

Геометрическая интерпретация: Если на векторах $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, отложенных из одной точки, построить параллелограмм, то векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ будут его диагоналями. Условие $ |\vec{a}| = |\vec{b}| $ означает, что смежные стороны этого параллелограмма равны, то есть он является ромбом. А у ромба диагонали всегда перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано. Скалярное произведение векторов $ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) $ равно $ |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 $. Поскольку по условию $ |\vec{a}| = |\vec{b}| $, то это произведение равно нулю, что является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов.