Номер 6, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Для правильного шестиугольника ABCDEF (рис. 5.2) найдите угол между векторами:

а) $\overline{AB}$ и $\overline{BC}$;

б) $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$;

в) $\overline{AB}$ и $\overline{EF}$;

г) $\overline{AC}$ и $\overline{BE}$.

Рис. 5.2

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника $ABCDEF$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Все стороны равны.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Чтобы найти угол между двумя векторами, их необходимо отложить от одной точки. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ приложены последовательно. Угол между векторами $\vec{BA}$ (противоположным вектору $\vec{AB}$) и $\vec{BC}$ — это внутренний угол шестиугольника $\angle ABC$, который равен $120^\circ$.

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ составляет $180^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ является смежным с углом $\angle ABC$.

Искомый угол $(\widehat{\vec{AB}, \vec{BC}})$ равен:

$(\widehat{\vec{AB}, \vec{BC}}) = 180^\circ - (\widehat{\vec{BA}, \vec{BC}}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ есть пары параллельных сторон. В частности, сторона $AF$ параллельна стороне $CD$. Векторы $\vec{AF}$ и $\vec{CD}$ имеют одинаковую длину и одинаковое направление, следовательно, $\vec{AF} = \vec{CD}$.

Поэтому угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равен углу между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$.

$(\widehat{\vec{AB}, \vec{CD}}) = (\widehat{\vec{AB}, \vec{AF}})$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ отложены от одной точки $A$. Угол между ними равен внутреннему углу шестиугольника $\angle FAB$.

Так как $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, $\angle FAB = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$

В правильном шестиугольнике сторона $FE$ параллельна стороне $BC$. Векторы $\vec{FE}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены и равны по длине, то есть $\vec{FE} = \vec{BC}$.

Вектор $\vec{EF}$ направлен в противоположную сторону к вектору $\vec{FE}$, поэтому $\vec{EF} = -\vec{FE} = -\vec{BC}$.

Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$ равен углу между векторами $\vec{AB}$ и $-\vec{BC}$.

Угол между векторами $\vec{u}$ и $-\vec{v}$ равен $180^\circ$ минус угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

Из пункта а) мы знаем, что угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен $60^\circ$.

Тогда $(\widehat{\vec{AB}, \vec{EF}}) = (\widehat{\vec{AB}, -\vec{BC}}) = 180^\circ - (\widehat{\vec{AB}, \vec{BC}}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

г) $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$

Для нахождения угла между диагоналями $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ поместим шестиугольник в декартову систему координат. Расположим центр шестиугольника $O$ в начале координат $(0,0)$ так, чтобы большая диагональ $BE$ лежала на оси $Oy$.

Пусть расстояние от центра до вершины равно $s$. Тогда вершины $B$ и $E$ будут иметь координаты $B(0, s)$ и $E(0, -s)$.

Вершины $A$ и $C$ симметричны относительно оси $Oy$. Угол $\angle BOC$ равен $60^\circ$. Координаты вершин $A$ и $C$ будут:

$C(s \cdot \cos(30^\circ), s \cdot \sin(30^\circ)) = C(s\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{s}{2})$

$A(s \cdot \cos(150^\circ), s \cdot \sin(150^\circ)) = A(-s\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{s}{2})$

Теперь найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$:

$\vec{AC} = C - A = (s\frac{\sqrt{3}}{2} - (-s\frac{\sqrt{3}}{2}), \frac{s}{2} - \frac{s}{2}) = (s\sqrt{3}, 0)$. Этот вектор параллелен оси $Ox$.

$\vec{BE} = E - B = (0 - 0, -s - s) = (0, -2s)$. Этот вектор параллелен оси $Oy$.

Вектор, параллельный оси $Ox$, и вектор, параллельный оси $Oy$, перпендикулярны. Следовательно, угол между ними составляет $90^\circ$.

Это также можно подтвердить, вычислив их скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{BE} = (s\sqrt{3}) \cdot 0 + 0 \cdot (-2s) = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, а векторы ненулевые, они перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$.