Номер 2, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Найдите угол между двумя векторами, если их длины равны 1, а скалярное произведение равно:

a) $0$;

б) $0.5$;

в) $-1$.

Для нахождения угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ используется формула, связывающая скалярное произведение с длинами векторов и косинусом угла между ними:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\alpha)$
Из этой формулы мы можем выразить косинус угла:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$
По условию задачи, длины обоих векторов равны 1, то есть $|\vec{u}| = 1$ и $|\vec{v}| = 1$. Подставим эти значения в формулу:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{1 \cdot 1} = \vec{u} \cdot \vec{v}$
Это означает, что косинус искомого угла равен значению скалярного произведения. Теперь найдем угол для каждого из заданных случаев, помня, что угол между векторами находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.

а) Скалярное произведение равно 0.
$\cos(\alpha) = 0$
Следовательно, угол $\alpha = \arccos(0) = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). В этом случае векторы называются ортогональными или перпендикулярными.
Ответ: $90^\circ$.

б) Скалярное произведение равно 0,5.
$\cos(\alpha) = 0.5$
Следовательно, угол $\alpha = \arccos(0.5) = 60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$ радиан).
Ответ: $60^\circ$.

в) Скалярное произведение равно -1.
$\cos(\alpha) = -1$
Следовательно, угол $\alpha = \arccos(-1) = 180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Это означает, что векторы коллинеарны и направлены в противоположные стороны.
Ответ: $180^\circ$.