Номер 4, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Для единичного квадрата $ABCD$ найдите скалярное произведение векторов:

а) $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$;

б) $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$.

Пусть $ABCD$ — единичный квадрат. Это означает, что длина его стороны равна 1, то есть $|\overline{AB}| = |\overline{BC}| = |\overline{CD}| = |\overline{DA}| = 1$. Все углы квадрата прямые ($90^\circ$), а диагонали равны, взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

Скалярное произведение двух векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ вычисляется по формуле: $\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| \cdot |\overline{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

а) $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$

Векторы $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$ являются диагоналями квадрата $ABCD$. Известно, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол $\alpha$ между векторами $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$ равен $90^\circ$.

Косинус угла $90^\circ$ равен нулю: $\cos(90^\circ) = 0$.

Подставим это значение в формулу скалярного произведения:

$\overline{AC} \cdot \overline{BD} = |\overline{AC}| \cdot |\overline{BD}| \cdot \cos(90^\circ) = |\overline{AC}| \cdot |\overline{BD}| \cdot 0 = 0$.

Скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю.

Ответ: 0

б) $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$

Вектор $\overline{AB}$ — это сторона единичного квадрата, поэтому его длина (модуль) равна 1: $|\overline{AB}| = 1$.

Вектор $\overline{AC}$ — это диагональ квадрата. Найдем ее длину по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:

$|\overline{AC}| = \sqrt{|\overline{AB}|^2 + |\overline{BC}|^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Угол $\alpha$ между вектором стороны $\overline{AB}$ и вектором диагонали $\overline{AC}$ — это угол $\angle CAB$. В квадрате диагональ является биссектрисой угла, поэтому она делит прямой угол $\angle DAB = 90^\circ$ пополам. Таким образом, $\alpha = \angle CAB = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Косинус угла $45^\circ$ равен $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь вычислим скалярное произведение, подставив найденные значения в формулу:

$\overline{AB} \cdot \overline{AC} = |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \cdot \cos(45^\circ) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1