Номер 3, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 4$, $AD = 3$. Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$;

б) $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$;

в) $\overline{AD}$ и $\overline{AC}$.

а) Скалярное произведение двух векторов определяется формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. В прямоугольнике $ABCD$ смежные стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны, поэтому угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равен $90^\circ$. Длины векторов соответствуют длинам сторон: $|\vec{AB}| = 4$ и $|\vec{AD}| = 3$.
Подставим значения в формулу:
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(90^\circ) = 4 \cdot 3 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

б) Вектор диагонали $\vec{AC}$ можно выразить как сумму векторов сторон по правилу параллелограмма: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Воспользуемся этим для вычисления скалярного произведения:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD})$.
Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:
$\vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AB} \cdot \vec{AD}$.
Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (скалярный квадрат): $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2 = 4^2 = 16$.
Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равно 0, как было найдено в пункте а).
Следовательно:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 16 + 0 = 16$.
Ответ: 16

в) Аналогично предыдущему пункту, используем разложение вектора $\vec{AC}$ на сумму $\vec{AB} + \vec{AD}$:
$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = \vec{AD} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD})$.
Раскроем скобки:
$\vec{AD} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD}) = \vec{AD} \cdot \vec{AB} + \vec{AD} \cdot \vec{AD}$.
Скалярное произведение коммутативно, поэтому $\vec{AD} \cdot \vec{AB} = \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$.
Скалярный квадрат вектора $\vec{AD}$ равен: $\vec{AD} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 = 3^2 = 9$.
Следовательно:
$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = 0 + 9 = 9$.
Ответ: 9