Номер 16, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Повторите определения угла и тригонометрических функций.

Определение угла

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла). Величину угла можно рассматривать как меру поворота одного луча вокруг вершины до совмещения с другим лучом.

Существует несколько единиц измерения углов, наиболее распространенными из которых являются градусы и радианы.

1. Градусная мера. Один градус ($1^\circ$) — это поворот, равный $1/360$ части полного оборота. Таким образом, полный оборот составляет $360^\circ$. Развернутый угол равен $180^\circ$, а прямой угол — $90^\circ$.

2. Радианная мера. Один радиан (1 рад) — это центральный угол в окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности. Так как длина всей окружности равна $2\pi R$, полный оборот содержит $2\pi$ радиан.

Связь между градусной и радианной мерами устанавливается соотношением: $180^\circ = \pi \text{ радиан}$.

Из этого соотношения следуют формулы для перевода:
- Для перевода градусов в радианы: $ \alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180} $.
- Для перевода радиан в градусы: $ \alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180}{\pi} $.

Поворот против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Ответ:

Определение тригонометрических функций

Тригонометрические функции — это функции угла. Их можно определить несколькими способами.

1. Через прямоугольный треугольник (для острых углов)
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Пусть $\alpha$ — острый угол, противолежащий катету $a$ и прилежащий к катету $b$.

- Синус (sin) угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} $

- Косинус (cos) угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} $

- Тангенс (tan) угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} $

- Котангенс (cot) угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $ \cot(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a} $

2. Через единичную окружность (для любого угла)
Рассмотрим в декартовой системе координат окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=1$ (единичная окружность). Возьмем на окружности точку $P_0(1,0)$. При повороте радиуса $OP_0$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки точка $P_0$ перейдет в точку $P_\alpha(x, y)$.

- Синус (sin) угла $\alpha$ — это ордината (координата $y$) точки $P_\alpha$: $ \sin(\alpha) = y $

- Косинус (cos) угла $\alpha$ — это абсцисса (координата $x$) точки $P_\alpha$: $ \cos(\alpha) = x $

- Тангенс (tan) угла $\alpha$ — это отношение синуса к косинусу (определен, когда $\cos(\alpha) \neq 0$): $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x} $

- Котангенс (cot) угла $\alpha$ — это отношение косинуса к синусу (определен, когда $\sin(\alpha) \neq 0$): $ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{x}{y} $

Также определяют еще две функции:
- Секанс (sec): $ \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} $
- Косеканс (csc): $ \csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)} $

Ответ: