Номер 18, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Для квадрата ABCD найдите угол между векторами:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

в) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

а) $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$

Угол между двумя векторами определяется после приведения их к общему началу. Векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$ уже выходят из одной точки (вершины квадрата) $A$. Они направлены вдоль смежных сторон квадрата $AB$ и $AD$.

Так как в квадрате все внутренние углы прямые, то угол $\angle DAB = 90^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$

Оба вектора, $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$, имеют общее начало в точке $A$. Вектор $\overline{AB}$ направлен вдоль стороны квадрата, а вектор $\overline{AC}$ — вдоль его диагонали.

Диагональ квадрата делит его угол пополам (является биссектрисой). Поэтому диагональ $AC$ делит прямой угол $\angle DAB$ на два равных угла. Угол между векторами $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ равен углу $\angle CAB$.

$\angle CAB = \frac{\angle DAB}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

в) $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$

Векторы $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$ соответствуют диагоналям квадрата. Чтобы найти угол между ними, воспользуемся скалярным произведением.

Выразим векторы диагоналей через векторы сторон, выходящих из одной вершины $A$, то есть через $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$.

По правилу сложения векторов (правило параллелограмма): $\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{AD}$.

По правилу вычитания векторов: $\overline{BD} = \overline{AD} - \overline{AB}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$:

$\overline{AC} \cdot \overline{BD} = (\overline{AB} + \overline{AD}) \cdot (\overline{AD} - \overline{AB})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$(\overline{AB} + \overline{AD}) \cdot (\overline{AD} - \overline{AB}) = \overline{AB} \cdot \overline{AD} - \overline{AB} \cdot \overline{AB} + \overline{AD} \cdot \overline{AD} - \overline{AD} \cdot \overline{AB}$

В квадрате смежные стороны перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение $\overline{AB} \cdot \overline{AD} = 0$. Также длины сторон равны, пусть $|\overline{AB}| = |\overline{AD}| = a$. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\overline{AB} \cdot \overline{AB} = |\overline{AB}|^2 = a^2$ и $\overline{AD} \cdot \overline{AD} = |\overline{AD}|^2 = a^2$.

Подставим эти значения в выражение:

$0 - a^2 + a^2 - 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$ равно нулю, а сами векторы не являются нулевыми, то они взаимно перпендикулярны. Угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.