Номер 14, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Используя векторы, докажите, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой стороны AD и BC являются основаниями. По определению трапеции, $AD \parallel BC$. Пусть M — середина боковой стороны AB, а N — середина боковой стороны CD. Требуется доказать, что средняя линия MN параллельна основаниям AD и BC, и ее длина равна их полусумме.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выразим вектор $\vec{MN}$ двумя способами, используя правило многоугольника для сложения векторов:

1. Проходя через вершины A и D: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}$

2. Проходя через вершины B и C: $\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}$

Теперь сложим эти два векторных равенства:

$2\vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{AD} + \vec{BC}) + (\vec{DN} + \vec{CN})$

Рассмотрим суммы векторов, связанных с боковыми сторонами. Поскольку точка M является серединой отрезка AB, то векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ равны по модулю и противоположны по направлению, то есть $\vec{MA} = -\vec{MB}$. Следовательно, их сумма является нулевым вектором: $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$.

Аналогично, поскольку точка N является серединой отрезка CD, то векторы $\vec{DN}$ и $\vec{CN}$ также противоположны: $\vec{DN} = -\vec{CN}$. Их сумма также равна нулевому вектору: $\vec{DN} + \vec{CN} = \vec{0}$.

Подставим полученные результаты в наше уравнение для $2\vec{MN}$:

$2\vec{MN} = \vec{0} + (\vec{AD} + \vec{BC}) + \vec{0}$

Отсюда мы получаем ключевое векторное равенство для средней линии трапеции:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$

Из этого равенства следуют оба доказываемых свойства.

1. Доказательство параллельности.

По определению трапеции основания $AD$ и $BC$ параллельны. Это означает, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны. Сумма двух коллинеарных векторов есть вектор, коллинеарный каждому из слагаемых. Таким образом, вектор-сумма $(\vec{AD} + \vec{BC})$ коллинеарен и $\vec{AD}$, и $\vec{BC}$. Вектор $\vec{MN}$ равен вектору $(\vec{AD} + \vec{BC})$, умноженному на скаляр $\frac{1}{2}$. Умножение на ненулевой скаляр не изменяет направления вектора (сохраняет коллинеарность). Следовательно, вектор $\vec{MN}$ коллинеарен векторам оснований $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. Из коллинеарности векторов следует параллельность прямых, на которых они лежат. Значит, $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

2. Доказательство формулы длины.

Найдем длину (модуль) вектора $\vec{MN}$:

$|\vec{MN}| = |\frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})| = \frac{1}{2}|\vec{AD} + \vec{BC}|$

Поскольку основания трапеции параллельны, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны. В обычной трапеции они также сонаправлены. Для сонаправленных векторов модуль их суммы равен сумме их модулей: $|\vec{AD} + \vec{BC}| = |\vec{AD}| + |\vec{BC}|$. Подставим это в предыдущее выражение:

$|\vec{MN}| = \frac{1}{2}(|\vec{AD}| + |\vec{BC}|)$

Так как длина отрезка равна модулю соответствующего вектора ($MN = |\vec{MN}|$, $AD = |\vec{AD}|$, $BC = |\vec{BC}|$), то мы получаем формулу для длины средней линии:

$MN = \frac{AD + BC}{2}$

Таким образом, оба утверждения доказаны.

Ответ: Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а ее длина равна полусумме длин оснований, что и требовалось доказать с помощью векторов.